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转动惯量的测量

摘要:本文是对转动惯量问题的讨论。首先介绍了转动惯量及其重要性。接着对转动惯量的大小进行了讨论，规则均匀物体的转动惯量可由积分公式直接求得，而不规则、不均匀物体的转动惯量则需要用实验测得。实验测量转动惯量的方法有多种，其中用三线摆测量转动惯量是常用测量转动惯量的方法之一，本文主要讨论了用三线摆测量转动惯量，对这个实验的原理，数据，误差等做了详细的分析。

关键词：转动惯量 圆环 三线摆

目 录

引言 1
1 转动惯量简介 1
2 公式法测算转动惯量 2
2.1 转动惯量的计算公式 2
2.2 圆盘转动惯量的计算 3
2.3 公式法测算圆环转动惯量 4
3 三线摆法测量转动惯量 5
3.1 仪器和用具 5
3.2 实验原理 5
3.3 实验内容 8
3.4 实验数据与结果 9
3.5 误差分析 10
4 结论 11
参考文献 11

引言
转动惯量是刚体力学中描述刚体转动性质的物理量，是大学物理课程中一个学习重点。在科学技术日新月异的今天，转动惯量在越来越多的领域受到重视，在科学实验、工程技术、航空航天、体育运动等多个领域都是一个重要参量。所以研究转动惯量，分析用什么方法能够相对精准、便捷地测出物体转动惯量的数值大小非常必要。 

1 转动惯量简介
转动惯量是量度刚体绕定轴转动时惯性大小的物理量，用字母或表示。这里的惯性主要是指回转物体保持其匀速率圆周运动或静止的特性。物体对某轴的转动惯量越大，则绕该轴转动时，其惯性就越大，也就是物体的角速度越难改变。
对于形状规则而且质量分布均匀的刚体而言，其转动惯量应用转动惯量的相关定义公式就可以计算得到。而对于生活中普遍存在的那些不规则物体或质量分布不均匀的物体的转动惯量，就需要用实验的方法测得。对于一个确定的物体而言，就比如一个车轮，它对于一个确定的轴，即车轴来说，转动惯量是一个相对确定的值，不随运动情况改变，和它是否运动，怎样运动都没有关系。
转动惯量的在转动中的物理意义与质量在质点在匀速直线运动中物理意义相当。质量是质点在直线运动中惯性大小的量度，而转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度。转动惯量主要描述力矩（）、角加速度（）、角动量（）和角速度（）这几个物理量之间的关系。
转动惯量的物理意义主要在以下公式的使用中体现。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。这些公式都在实际的生活生产中具有十分重要的意义。
（1）：
(1.1)
角加速度与合外力矩
公式表示合外力矩，表示角加速度。这个公式与质点直线运动中相当。
（2） 角动量：
(1.2)
角动量
上式中表示角速度，表示角动量。这个公式与质点直线运动中相当。
（3） 刚体的定轴转动动能：
(1.3)
转动动能
这个公式只是刚体绕定轴的转动动能，而其总动能应该再加上质心的动能。只用不能分析转动刚体的问题，它把刚体近似为质点模型，里面的速度只代表刚体的质心运动情况，没有说明刚体各个部分具体的运动情况。公式，可以从能量的角度更具体地分析刚体运动的问题。

2 公式法测算转动惯量
对转动惯量有了一个初步的了解之后，转动惯量的大小又和哪些量有关呢？能否精确量化呢？怎样知道一个物体的转动惯量呢？是否所有物体的转动惯量都可以计算得到呢？
2.1 转动惯量的计算公式
按转动惯量的定义有
(2.1)
也就是说，刚体对转轴的转动惯量等于各质点到转轴的距离的二次方与各质点的质量相乘再求和。
由此可得，是刚体的总质量；质量的分布；转轴的位置，这三个量决定了转动惯量的大小。对于任何一个刚体，必须指出所转轴，这样转动惯量才能确定的。所选转轴不同，即使是对于同一物体，转动惯量也是不同的。也就是说，转轴一旦变换，这个物体转动的特性也就发生了变化。必须说明，转动惯量与刚体当下是否绕轴转动与否，具体运动情况无关。
当刚体质量连续分布，也就是其密度均匀，式中求各个质元质量就可以用求质量微分得积分替换，得
(2.2)
积分遍及全部体积。用表示其密度，用表示体积微分，则，代入式，即
(2.3)
若刚体是均质的，则
(2.4)
转动惯量的单位我们从公式可以得出，它由质量和长度的单位决定。在国际单位制中为。
此外，计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理。同时，这两个定理也是对一个转动物体的固有物理性质的反应。
（1） 平行轴定理
对于质量为的一个刚体，一条转轴通过质心，另一条转轴与它平行，它们之间的动惯量有如下关系:
(2.5)
表示刚体对通过质心转轴的转动惯量，表示此刚体对另一平行轴的转动惯量，表示这两轴之间的垂直距离。我们把叫做平行轴定理。
（2） 垂直轴定理
有一薄板刚体，其厚度可以忽略不计。以轴垂直薄板建立坐标系，与薄板平面重合，刚体对轴的转动惯量为
(2.6)
等号右方的表示刚体对轴的转动惯量，表示刚体对轴的转动惯量,即
(2.7)
即对于厚度可忽略不计的薄板，一个与薄板垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对此面内另外两个相互垂直的坐标轴的转动惯量相加，这就叫垂直轴定理。垂直轴的成立条件必须是厚度无穷小的薄板，而对于有限厚度的板，或者厚度不可忽略的板不成立。
对于非平面薄板状的刚体,定理形式改写如下：
（2.8）
2.2 圆环转动惯量的计算
现在以一个具体的圆环为例，测算它的转动惯量。
如图所示，质量为、内半径为，外径半为、密度均匀分布的圆环，现在我们来研究它对于过圆心且与圆环垂直转轴的转动惯量。

R

2.1 用积分求圆环转动惯量
把圆环分成许多无限薄圆环，为圆环的密度，为其厚度，则半径为，宽为的薄厚圆环的体积为

薄环对轴的转动惯为

积分得

其中是圆环体积，再乘以密度就等于圆环质量，故圆环的转动惯量为
(2.9)
若用直径表示，已知；，有
(2.10)
2.3 公式法测算圆环转动惯量
1. 用物理天平测其质量，。
2.用游标卡尺测圆环的内直径和外直径，数据记录如下表：

次数
次数
单位（cm）

圆环内直径

圆环外直径
1
10.066
14.874
2
10.066
14.876
平均值
10.066
14.875
表2-1 圆环内外直径
3.将以上数据代入公式(2.10)，计算可得
(2.11)
所以，得出此圆环的转动惯量理论值大小为
（2.12）

3 三线摆法测量转动惯量
由第二章的内容我们已经知道，对于形状规则、质量均匀分布的物体，我们从其定义出发，应用相关公式就可以相对精确地测算出该物体的转动惯量。但是在我们的生活生产中，大多物体形状并不规则，甚至由多种材料制造，密度分布也不均匀，怎样知道这些物体的转动惯量呢？测量这些物体的转动惯量仅仅从转动惯量的定义出发是不够的，这就需要我们从转动惯量的相关动力学公式出发，设计实验来测量。验室测定转动惯量的方式方法有很多种，其中三线摆法是利用扭转运动的运动规律来测量转动惯量的。这种实验方法原理简单、易于操作，而且可以用于测量各种不同形状物体的转动惯量。这种实验方法在理论实验和科技生产中都具有重要的意义。这里我们用三线摆来测量和第二章中同一圆环的转动惯量。
3.1 仪器和用具
，，，， ，。
3.2 实验原理
三线摆法是测量转动惯量的常用方法，其实质是利用扭转运动的运动规律。

三线摆如图3-1所示，主体用三条长度相等的细线连接两个半径不同的金属圆盘而制成。上下两盘面都应调成水平，而且两个的圆心在同一垂直线上，这里的就是所选定的转轴。实验时，上盘被固定，下盘被转动，绕做扭转运动。扭转周期和下盘的转动惯量有关。当下盘的转动惯量变化时，它的扭转周期也会相对应的发生变化。当物体质量已知时，我们就可以用三线摆测量它的扭转周期，从而求出该物体的转动惯量。
质量为的下圆盘绕三线摆中心轴线做小角度扭动时，圆盘竖直方向升高距离，它的重力势能增加为，则
(3.1)
式中表示重力加速度。扭转角为，则圆盘的角速度可表示，那么圆盘的动能就等于
(3.2)
为圆盘对轴的转动惯量。如果不计摩擦力的影响，认为系统机械能守恒，那么圆盘的势能与动能之和不变，公式表示如下：
(3.3)
设悬线长为，上下圆盘悬线距圆心的距离相当于上下圆盘的半径，假设它们分别为和。下圆盘转动角度时，从上圆盘点作下圆盘垂线，与升高前的小圆盘相交于点，与升高后的下圆盘点，如中所示。有
（3.4）
因为

所以
(3.5)
在扭转角较小时，我们把。而把近似等于上下两圆盘的距离的2倍，由此可得
（3.6）
将此式带入式并对微分，可得

即
（3.7）
为简谐振动方程，方程的角频率的二次方等于

而振动周期等于，所以，
（3.8）
由此得出
（3.9）
由上式可以看出，如果知道、、、及，并将这些数值代入式中就可以得到下盘转动惯量。
同理可知，如果我们在下盘中再放置一个物体，质量为，假设它的转动惯量为。用同样方法测出此时摆动周期，记为，就可以得出放有物体的下盘的转动惯量为
(3.10)
从上式中减去下盘的转动惯量式，可以得出被测物体的转动惯为
(3.11)
由可看出，当我们研究多个物体对于同一转轴的转动惯量时，它们的转动惯量可以直接相加减。
3.3 实验步骤
1.用水准器检查三线摆下圆盘的水平
检验三线摆下圆盘的是否水平，若不水平，调节底脚螺丝和三条悬线使其水平。
2.测出下盘的振动周期
用停表测量下盘转动个周期的时间记录于表格中。测量周期时，须控制扭转角小于；而且要使下盘不出现向四周摆动的现象。
3.测出放有圆环的下圆盘振动周期
方法同上。放置圆环时候，让圆环与三线摆的下圆盘圆心重合。
4.用物理天平测量下圆盘的质量、圆环质量。用游标卡尺测量圆环的内外直径（、）；用米尺测出两圆盘间距。如图上下两圆盘三个悬点的连线正好构成等边三角形，所以圆盘的有效半径和两悬点间的距离为由如下关系 。故只需测出上圆盘的孔间距，下圆盘的孔间距，就可计算出上下圆盘半径值。

图3.3 下盘悬点示意图

5. 计算、及相对误差
比较测量值与计算值式，，计算相对误差。
3.4 实验数据与结果
1.实验数据
（1）摆动时间记录

摆动30个周期的时间
测量次数
下盘
圆环和下盘
1
40.32
39.93
2
40.34
39.88
3
40.21
39.86
平均值
40.26
39.86
表3-1 时间记录
由表表3-1得，;；
（2）实验测得数据 ;;;
（3）上下盘悬孔间距记录

次数

单位（cm）

下盘悬孔间距

下盘孔间距
1
7.706
16.124
2
7.706
16.126
平均值
7.706
16.125
表3-2孔间距记录
由表3-2得， ； ；
2.实验结果
根据公式，代入上述所得测量数据，计算得到下圆盘的转动惯量为

根据公式，代入上述所得测量数据，计算得到下圆盘和圆环的转动惯量为

得圆环的转动惯量为

由式（2.11）已经测得

由此得，
3.5 误差分析
1.近似对测量结果的影响
（1）不考虑摩擦力的影响，认为系统机械能守恒。
（2）不考虑平动动能对实验的影响。
（3）。
（4）实验原理中，。
2.操作对测量结果的影响
（1）测量周期数的选择。测量次数太少，偶然误差增大；而测量次数太多，虽可减小计时器启动、停止时的误差，在摆动过程中，不可避免的会受到阻力的作用，周期将改变也使得实验中误差变大。
（2）下盘发生晃动对测量结果产生影响。在晃动时，下圆盘的运动就不是要求的简谐振动，实验的测量值与理论值产生误差，误差大小与晃动轨迹和振幅都有关。
（3）长度和质量的测量。由公式(3.11)可以看出质量和长度等值的测量误差将直接影响测量结果。
（4）圆环放置的位置。测圆环的转动惯量时应使其几何轴线与三线摆中心轴线重合。
（5）扭转角的最大摆角的控制，实验时应该保证最大摆角不超过。
3.测量值偏大的原因
（1）测圆环的转动惯量时要使其几何轴线与三线摆的中心轴线重合，根据平行轴定理我们知道，同心位置上转动惯量最小，而在实验中圆盘环的几何轴线与下圆盘中心很难达到完全重合。一旦有偏差就会造成转动惯量的测量值比理论值偏大。
（2）实验中要求扭转角较小，一般要求其角度小于。但是在具体实验操作过程中，要控制扭转角并非易事，往往在操作过程中求转角会偏大，这样会使测得的扭转时间变长，扭转周期偏大。从式（3.11）可知，当测量周期偏大时，测量结果也会随之偏大。

4 结论
转动惯量是物体转动时惯性大小的量度,是非常重要的物理量，在科学研究、生活生产中都有非常重要的意义。转动惯量的大小与物体本身和转动轴有关。形状规则、质量均匀分布的物体，它的转动惯量可以用公式计算得到，本文用公式法测算了一个均质圆环的转动惯量。而对于生活、生产中更多形状复杂、质量分布不均匀的物体则需要设计实验测得。测量转动惯量的诸多实验方法中，三线摆法适用范围广泛。本文又用三线摆测量同一圆环的转动惯量，得到其实验测量值与公式法测得的理论测量值比较，偏大，分析其主要原因为对最小摆角的控制和对其中心轴线的重合等。由此分析得出，误差主要源于对三线摆模型的简化近似处理、各个数据的测量以及实验者的具体实验操作。

参考文献：
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Moment of Inertia Measurement

Abstract：This paper is a discussion of the moment of inertia. Firstly, the moment of inertia and its importance. Next, the size of the moment of inertia, the moment of inertia of a uniform object rules may be obtained directly integral formula, irregular, uneven objects moment of inertia with the experimentally measured. Measuring the moment of inertia have a variety, in which three-wire pendulum Moments of Inertia is a commonly used measurement rotating inertia, mainly to discuss with a three-wire pendulum measuring the moment of inertia, the principle of this experiment, data, error, etc. to do the detailed analysis.

Key words：moment of Inertia circular ring three-wire pendulum
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