平面向量的数量积11.doc

2.4 平面向量的数量积（1）
一、 教学目标：
1、知识与技能
（1）理解平面向量数量积的概念；
（2）掌握两向量夹角的概念及其取值范围；
（3）掌握向量数量积的性质；
（4）掌握平面向量数量积的运算律。
2、过程与方法
通过实例引入课题；通过自主学习和师生讨论，探究新知；通过问题的解决理解和掌握新知。通过问题的辨析巩固新知。
3、情感、态度与价值观
通过自学，培养学生的自主学习的能力；通过对问题的探究分析，培养学生的探究能力；
通过问题的辨析，培养学生的唯物观和思维的严密性。
二、教学重、难点
重点：平面向量数量积的概念、性质、运算律的理解和应用。
难点：平面向量数量积的概念、性质、运算律的理解
三、学法与教学用具
学法：自主、合作、讨论
教具：多媒体等

（图1）
四、教学设想
（一）创设情境
1.物理课中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）．
观察可以发现：①功是两个矢量与的一种运算，并且结果是一个数量
②功的大小不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关
2.问题中是两个向量的运算，如何定义？
同学们阅读课本。思考下列问题：
（1）向量的夹角如何定义？
（2）向量数量积的定义是什么？
（3）向量数量积的运算律有哪些？和实数运算律类似吗？
（二）新知探求：

（图2）
1．向量的夹角：
已知两个向量和（如图2），作，，则
（）叫做向量与的夹角。
说明：①两向量共起点；
②当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．

练习1：（学生口答）如图，在正三角形中,
与的夹角为 ，
与的夹角为 .
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积, 俗称点乘），记作，即．
【说明】：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关；
②两个向量的数量积是一个数量；实数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是.即
特别注意： 而,后者是向量，前者是数！
练习2：判断下列说法是否正确：
① 向量的数量积可以是任意实数. （ ）
② 若，则对任意向量，有. （ ）
③若，则对任意非零向量，有. （ ）
④如果，那么与的夹角为锐角. （ ）
⑤若，，则. ( )
⑥若，，则. ( )
3．数量积的运算性质
（1）当与同向时，
（2）当与反向时，
（3）或 用于计算向量的模
4.向量数量积的运算律
1．
2． （其中为实数）
3．．
常用公式： 类似于多项式的乘法法则
（三）学以致用
【例1】已知向量与向量的夹角为，，，分别在下列条件下求：
（1）； （2）； （3）.

变题：已知向量与向量的夹角为，，，
求：（1） （2） （3）

【例2】已知正的边长为，设，，，求．

解：如图，与、与、与夹角为，
∴原式
．
变题： 已知，，，且，求．

【例3】已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。
解：由题意可得： Þ ①
Þ ②
两式相减得：， 代入①或②得：，
设的夹角为，则
∴，即与的夹角为．
（四）巩固练习：
1．在中，，则的形状是 三角形.
2．已知，，与的夹角，则 .
3．已知，，，则与的夹角 ．
4．已知向量与向量的夹角为，且，则的值为 .
5．向量的模分别为，的夹角为，求的模.
6．书本77页练习2.
（五）课堂小结：
1.向量的夹角；
2向量数量积的定义；
3.向量数量积的性质；
4.平面向量数量积的运算律；
（六）布置作业
《课课练》

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