《求解二元一次方程组(代入法)》.doc

5.2 求解二元一次方程组（一）代入法教学目标(一)教学知识点1代入消元法解二元一次方程组2解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想(二)能力训练要求1会用代入消元法解二元一次方程组2了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想(三)情感与价值观要求1在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心2培养学生合作交流，自主探索的良好习惯教学重点1会用代入消元法解二元一次方程组2了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想教学难点1“消元”的思想2“化未知为已知”的化归思想教学方法启发自主探索相结合教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤教具准备投影片两张：第一张：例题(记作5.2.1 A)；第二张：问题串(记作5.2.1 B)教学过程提出疑问，引入新课师生共忆上节课我们讨论过一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x个，儿童有y个，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？生在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出是方程组的解所以成人和儿童分别去了5个人和3个人师但是，这个解是试出来的我们知道二元一次方程的解有无数个难道我们每个方程组的解都去这样试？生太麻烦啦生不可能师这就需要我们学习二元一次方程组的解法讲授新课师在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？生解：设成人去了x个，儿童去了(8x)个，根据题意，得：5x+3(8x)=34解得x=5将x=5代入8x=85=3答：成人去了5个，儿童去了3个师同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？生列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8x)个y应该等于(8x)而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8x生我还发现一元一次方程中5x+3(8x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8x”代替就转化成了一元一次方程师太好了我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法即将新知识转化为旧知识便可如何转化呢？生上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的所以将中的变形，得y=8x我们把y=8x代入方程，即将中的y用8x代替，这样就有5x+3(8x)=34“二元”化成“一元”师这位同学很善于思考他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决下面我们完整地解一下这个二元一次方程组解：由得y=8x将代入得5x+3(8x)=34解得x=5把x=5代入得y=3所以原方程组的解为下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题师生共析解二元一次方程组：分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程解：由得x=2+y将代入得(2+y)+1=2(y1)解得y=5把y=5代入，得x=7所以原方程组的解为即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹师在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的我们将这种方法叫代入消元法这种解二元一次方程组的思想为消元思想我们再来看两个例子出示投影片(5.2.1 A)例题解方程组(由学生自己完成，两个同学板演)解：(1)将代入，得3+2y=83y+9+4y=167y=7y=1将y=1代入，得x=2所以原方程组的解是(2)由，得x=134y将代入，得2(134y)+3y=165y=10y=2将y=2代入，得x=5所以原方程组的解是师下面我们来讨论几个问题：出示投影片(5.2.1 B)(1)上面解方程组的基本思路是什么？(2)主要步骤有哪些？(3)我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法)生我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”生我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值第五步：用“”把原方程组的解表示出来第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立师这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯生老师，我代表我们组来回答第三个问题我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择变形这是无可厚非的，把变形后代入中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便可例1中，虽然可直接把代入中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？师这个问题提的太好了下面同学们分组讨论一下如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来生解：由得2x=y+3两边同时乘以2，得4x=2y+6由得2y=4x6把代入得3x+(4x6)=8解得7x=14，x=2把x=2代入得y=1所以原方程组的解为师真了不起，能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程，这是一个“科学的发明”随堂练习课本习题答案1用代入消元法解下列方程组解：将代入，得x+2x=12x=4把x=4代入，得y=8所以原方程组的解为将代入，得4x+3(2x+5)=65解得x=5把x=5代入得y=15所以原方程组的解为由，得x=11y把代入，得11yy=7y=2把y=2代入，得x=9所以原方程组的解为由，得x=32y把代入，得3(32y)2y=9得y=0把y=0代入，得x=3所以原方程组的解为注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一课时小结这节课我们介绍了二元一次方程组的第一种解法代入消元法了解到了解二元一次方程组的基本思路是“消元”即把“二元”变为“一元”主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值即求得了方程的解课后作业1课本习题5.2 2预习下一部分活动与探究已知代数式x2+px+q，当x=1时，它的值是5；当x=2时，它的值是4，求p、q的值过程：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p、q的方程，即当x=1时，代数式的值是5，得(1)2+(1)p+q=5当x=2时，代数式的值是4，得(2)2+(2)p+q=4将、两个方程整理，并组成方程组解方程组，便可解决结果：由得q=2p把q=2p代入，得p+2p=6解得p=6把p=6代入q=2p=12所以p、q的值分别为6、12板书设计求解二元一次方程组(一)一、“希望工程”义演二、“谁的包裹多”问题三、例题四、解方程组的基本思路：消元即二元一元五、解二元一次方程组的基本步骤备课资料一、参考例题例1解方程组分析：题中方程x的系数为1，则用含y的代数式表示x，代入第个方程；得到一个关于y的一元一次方程，求出y，进而再求出x；题中方程出现常数项为零的情况，则由得x=2y，再代入中消去x，进而求出方程组的解解法一：由得x+2y=0即x=2y把代入得2y+3y=4，得y=4把y=4代入得x=24=8所以原方程的解为解法二：由得x=43y把代入得=0即y=4把y=4代入得x=434=8所以原方程组的解为评注：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，把二元一次方程组转化为我们已熟悉的一元一次方程来解“代入法”是消元的一种方法，用代入法解二元一次方程组，首先要观察方程组中未知数系数的特点，尽可能选择变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是很关键的一步 例2解方程组分析：先把方程整理为一般形式4x3y=5，通过观察发现方程和中y的系数是“+3”和“3”，可以用整体代入法将变形为3y=1+2x后代入，得出关于x的一元一次方程，进而得到方程组的解解：原方程整理为由得3y=1+2x把代入得4x(2x+1)=5解得x=2把x=2代入，得3y=2(2)+1y=1所以原方程的解为评注：解二元一次方程组一般要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数；用代入法解方程组，关键是灵活“变形”和“代入”，以达到“消元”的目的，要认真体会此题代入的技巧和方法例3已知关于x、y的方程组的解相同，求a、b的值分析：既然两个方程组的解相同，那么两个方程组的解也应与方程组的解相同，将此方程组的解代入含有a、b的另两个方程，则解关于a、b的二元一次方程组，从而求出a、b的值解：求得方程组解为将其代入ax+by=1，2ax+3by=3，可得由得，b=3a1把代入，得6a+3(3a1)=3解得a=2把a=2代入，得b=5所以a=2，b=5二、参考练习1填空题(1)用代入法解二元一次方程组最为简单的方法是将_式中的_表示为_，再代入_式(2)若方程3x13y=12的解也是x3y=2的解，则x=_，y=_(3)已知3b+2a=17，2ab=7，则a2+b2+4ab=_(4)已知4x2y3+(x+2y7)2=0，则(xy)2=_2选择题(1)若方程组的解是一对相同的数，则a的值为（ ）A3 B4 C5 D6(2)已知x、y的值满足等式，那么代数式的值为（ ）A B C D(3)若方程组的解互为相反数，则k的值为（ ）A8 B9 C10 D113用代入法解下列方程组（ ）(1)(2)4若y=kx+b，当x=1时y=1;当x=3时，y=5，求k和b的值答案：略 12 / 12