数学习题答案.doc

概率论与数理统计：
总习题一：

习题5.

习题15

习题21

习题21

2.2
习题4
一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.
P{X=3}=C2,2⋅1C5,3=1/10, P{X=4}=C3,2⋅1C5,3=3/10, P{X=5}=C4,2⋅1C5,3=3/5,
所以X的分布律为
X
3
4
5
pk
1/10
3/10
3/5
习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元，设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：
X
10
20
30
40
pi
0.15
0.25
0.45
0.15
求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.
解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：
   P{3X>60}, 即P{X>20},
   P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.
就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.
习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.
解答：以X记纺锭断头数,  n=800,p=0.005,np=4,
应用泊松定理，所求概率为：
    P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)
                 ≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+4^1/1!+4^2/2!)≈0.2381.

2.4
习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).
解答：P{X≤0.5}=∫-∞,0.5;f(x)dx=∫-∞,0;0dx+∫0,0.5;2xdx=x2∣0,0.5=0.25,
P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞,0.5;f(x)dx-∫-∞,0.5;f(x)dx=0.
当X≤0时，F(x)=0;
当0<x<1时，F(x)=∫-∞,x;f(t)dt=∫-∞,0;0dt+∫0,x;2tdt=t2∣0,x=x2;
当X≥1时，F(x)=∫-∞,x;f(t)dt=∫-∞,0;0dt+∫0,x;2tdt+∫1,x;0dt=t2∣0,1=1,故
            F(x)={0,x≤0;x2,0<x<1;1,x≥1
习题3设连续型随机变量X的分布函数为
  F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).
解答：(1)\because F(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,  ∴A=1;
又 \because limx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,      ∴B=-1.
(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.
(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.

习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度
                 f(x)={100x2,x≥1000,其它,
某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.
解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为
    P{X>150}=∫150,+∞;f(x)dx=∫150,+∞;100x2dx
               =-100x∣150,+∞=100/150=2/3,
从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为  p=(2/3)3=8/27.
习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？
解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).
设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1, 即
                  1-P{X<x}=0.1,
所以1-F(x)=0.1, 即  1-Φ((x-4000)/60)=0.1, 所以Φ((x-4000)/60)=0.9.
查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997, 因此  (x-4000)/60≈1.28, 即x=4077件，
就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.

2.5 随机变量函数的分布
习题1已知X的概率分布为
X
-2
-1
0
1
2
3
pi
2a
1/10
3a
a
a
2a

试求：(1)a;    (2)Y=X2-1的概率分布.
解答：(1)\because 2a+1/10+3a+a+a+2a=1,
   ∴a=1/10.
(2) 
Y
-1
0
3
8
pi
3/10
1/5
3/10
1/5
习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：
(1)Y=1X;     (2)Y=∣X∣.
解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.
①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}
         =P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),
故这时fY(y)=[-F(1/y)]′=1/y2f(1/y);；
②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),
故这时fY(y)=1/y2f(1/y);
③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),
故这时取fY(0)=0, 综上所述
           fY(y)={1/y2⋅f(1/y),y≠0;0,y=0.
(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.
①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)
这时fY(y)=f(y)+f(-y);
②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;
③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,
故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>0;0,y≤0.
习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.
解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为
         FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0；y,0≤y≤1；1,y>0,
于是，Z的分布函数为
    FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}
         ={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1
由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.
FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.

总复习题二
习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.
解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为
                     2500×120元=300000元.
设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须 200000X>300000即X>15(人).
因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}
                      =∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k
                     ≈1-∑k=0,15;e-5*5^k/k!≈0.000069,
由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.
(2)P{保险公司获利不少于100000元}
   =P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}
   =∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=0,10;e-5*5^k/k!≈0.986305,
即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.
   P{保险公司获利不少于200000元}
   =P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}
   =∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=0,5;e-5*5k/k!≈0.615961,
即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.
习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为
X 
-1 0 1 
 pi
1/2,1-2q,q2
试求：(1)q的值；    (2)X的分布函数.
解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1, 且0≤pi≤1,
∴     {1/2+1-2q+q2=1;0≤1-2q≤1q2≤1,
解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：
X 
 -1 0 1
 pi
 1/22-13/2-2
(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数
                F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.
习题11
已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0), 求常数c及P{a-1<X≤a+1}.
解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1, 而
    ∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞,a;0dx+∫a,+∞;cλe-λxdx
               =c∫a,+∞;e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,
所以ce-λa=1, 从而c=eλa. 于是
    P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx
                       =-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.
注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.
习题19设随机变量X的分布律为
 X
 -2 -1 0 1 3
pi 
 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
试求Y=X2的分布律.解答：
 pi
  1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 
 X
 -2 -1 0 1 3
X2 
  4 1 0 1 9
所以
 X2
  0 1 4 9
pi 
 1/5 7/30 1/5 11/30
注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.
习题20设随机变量X的密度为
                 fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.
解答：由Y=2X+3, 有             y=2x+3,x=y-32,x′=12,
由定理即得         fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.

3.1
习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：
  (1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).
习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：  (2)P{0<Y≤b}; 
解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).
习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：  (3)P{X>a,Y≤b}.
解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).
习题4设X,Y为随机变量，且   P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.
解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}   =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}
                  =47+47-37=57.
习题5(X,Y)只取下列数值中的值：  (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)
且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.
解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：
    {X=-1,Y=0},  {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}
均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：
 X\Y
 0 1/3 1 
 -1
 0 1/12 1/3
 0
1/6 0 0
 2
5/12 0 0
(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}  =0+16+512=7/12,
同样可求得  P{Y=13=112,P{Y=1}=1/3,
关于的Y边缘分布见下表：
Y 
  0 1/3 1 
 pk
 7/12 1/12 1/3
习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<4;0,其它,
(1)确定常数k;             (2)求P{X<1,Y<3};  (3)求P{X<1.5};          (4)求P{X+Y≤4}.
解答：如图所示(1)由∫-∞,+∞∫-∞,+∞;f(x,y)dxdy=1, 确定常数k.∫0,2∫2,4;k(6-x-y)dydx=k∫0,2;(6-2x)dx=8k=1,
所 以K=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫0,1;dx∫2,3;18(6-x-y)dy=3/8.(3)P{X<1.5}=∫0,1.5;dx∫2,4;18(6-x-y)dy=27/32.(4)P{X+Y≤4}=∫0,2;dx∫2,4-x;18(6-x-y)dy=2/3.
习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为       f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤1;0,其它,
求边缘概率密度fY(y).
解答：fX(x)=∫-∞,+∞;f(x,y)dy ={∫0,x;4.8y(2-x)dy,0≤x≤1;0,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤1;0,其它.
fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx  ={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤1;0,其它.

总习题三
习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：
X\Y 
y1 
y2 
y3 
pi⋅ 
 x1

1/8 

 x2
1/8 

 p⋅j
1/6 

1 
解答：由题设X与Y相互独立，即有 pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3), p⋅1-p21=p11=1/6-1/8=1/24,
又由独立性，有 p11=p1⋅p⋅1=p1⋅1/6
故p1=1/4.从而p13=1/4-1/24-1/8, 又由p12=p1⋅p2, 即1/8=1/4⋅p2.
从而p2=1/2. 类似的有 p3=1/3,p13=1/4,p2⋅=3/4.
将上述数值填入表中有
X\Y 
y1 
y2 
y3 
pi⋅ 
 x1
1/24 
1/8 
1/12 
1/4 
 x2
1/8 
3/8 
1/4 
3/4 
 p⋅j
1/6 
1/2 
1/3 
1 
习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：
求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).
解答：(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1, 故1/4+1/4+1/6+a=1,
∴a=1/3.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;
③当x≥2,-1≤y<0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;
④当1≤x<2,y>0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;
⑤当x≥2,y≥0时， F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1;
综上所述，得(X,Y)联合分布函数为
F(x,y)={0,x<1或y<-1;1/4,1≤x<2,-1≤y<0;5/12,x≥2,-1≤y<0;1/2,1≤x<2,y≥0;1,x≥2,y≥0.
(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：
FX(x)={0,x<1;1/4+1/4,1≤x<2;1/4+1/4+1/6+1/3,x≥2={0,x<1;1/2,1≤x<2;1,x≥2,
同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为
FY(y)={0,y<-1;2/12,-1≤y<0;1,y≥0.
习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为
且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的联合分布律； (2)问X1和X2是否独立？
解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合分布. 列表如下：
X2\X1
-1 0 1 
P{X2=j} 
   01
1/4 0 1/4 0 1/2 0
   1/21/2
P{X1=i}
1/4 1/2 1/4 
    1
由已知P{X1X2=0}=1, 即等价于P{X1X2≠0}=0, 可知P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.
再由p⋅1=p-11+p11+p01, 得p01=1/2, p-10=p-1⋅=p-11=1/4,p10=p1⋅-p11=1/4,
从而得p00=0.
(2)由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=1/8, 所以知X1与X2不独立.
4.1 数学期望
习题4
据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知), 在5年之内非自杀死亡的概率为1-p, 保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知), 若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a), 应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？
解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为
∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0, 即a<b<a/(1-p)
对于m个人，有E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p).
习题8
设随机变量X的概率密度为f(x)={1-∣1-x∣,0<x<20,其它,求E(X).
解答：f(x)={x,0<x<1;2-x,1≤x<20,其它,E(X)=∫0,1;x⋅xdx+∫1,2;x(2-x)dx=∫0,1;x2dx+∫1,2;(2x-x2)dx=1/3+2/3=1.
习题10
设随机变量X的概率密度为f(x)={e-x,x>00,x≤0,求：(1)Y=2X的数学期望；(2)Y=e-2X的数学期望.
解答：(1)E(Y)=E(2X)=∫-∞,+∞;2xf(x)dx=∫0,+∞;2xe-xdx=2.
(2)E(e2X)=∫-∞,+∞;e-2xf(x)dx=∫0,+∞;e-3xdx=1/3.

复变函数与积分变换
习题一
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

①解：
其中．
②解：其中．

③解：
④解：.
∴
⑤解：
解：∵．
∴

8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.
⑴i的三次根．
解：

∴．　

⑵-1的三次根
解：

∴

⑶的平方根．
解：
∴
∴
．

习题二
1. 求映射下圆周的像.
解：设则

因为,所以
所以 ,

所以即，表示椭圆.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性.
(1) ;
解：在全平面上可微.

所以要使得
， ,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) .
解：在全平面上可微.

只有当z=0时,即(0,0)处有,.
所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) ;
解：在全平面上可微.

所以只有当时，才满足C-R方程.
从而f(z)在处可导，在全平面不解析.
(4) .
解：设，则

所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.
(1) ;
证明：因为，所以,.
所以u,v为常数，于是f(z)为常数.
(3) Ref(z)=常数.
证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,
因为f(z)解析，C-R条件成立。故即u=C2
从而f(z)为常数.
5. |f(z)|=常数.
证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.
若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.
若C0，则f(z) 0,但，即u2+v2=C2
则两边对x,y分别求偏导数，有

利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有

所以 所以
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.
13. 计算下列各值
(1) e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)
15. 计算下列各值．
(1)

(2)
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)

17. 计算下列各值．
(2)

18. 计算下列各值
(1)

(2)

习题三
1. 计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.
解 设直线段的方程为,则.
故
17. 计算积分,其中积分路径为
(1)中心位于点,半径为的正向圆周
(2) 中心位于点,半径为的正向圆周

解：(1) 内包含了奇点
∴
(2) 内包含了奇点,
∴
3.计算函数.
解:

习题八
1.求下列函数的拉普拉斯变换.
(1)， (2)， (3)
(4)， (5)
解: (1)

(2)
(3)

(4)
(5)
13. 求下列函数的拉普拉斯逆变换.
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解：(1)

(2)

(3
故
(4)
因为

所以

(5)
其中

所以

(6)
所以

17.求下列微分方程的解
(1)
解: (1)设

方程两边取拉氏变换,得

为Y(s)的三个一级极点,则