2014年青海省西宁五中片区大联考(四校联考)高三下学期5月高考模拟理科数学试卷及答案.doc

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青海省西宁五中片区大联考（四校联考）2014年高三下学期5月高考模拟试卷
数学理科

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．集合，，则
A. B. C. D.
2．已知定义在复数集C上的函数满足，则等于
A． B．0 　　 C．2 D．
3．将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有
A．种 B．种 C．种 D．种
4．设为实数，函数的导函数为，且是偶函数， 则曲线：在点处的切线方程为
A. B. C. D.
5．在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=
A．-2 B．-4 C．-3 D．-1

6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
正视图 侧视图 俯视图

A． B． C． D．
7.已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P（2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
8．如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点，现将一质点
随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是
A． B．
C． D．
9．已知幂函数的图像过点，令，，记数列的前项和为，则=10时，的值是
A. 110 B. 120 C. 130 D. 140
10．将函数f（x）＝3sin（4x＋）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．则图象的一条对称轴是
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
11.设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，
则的最小值为
A. B. C. D.
12．已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时， ②函数有2个零点
③的解集为 ④，都有
其中正确命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在的二项展开式中，的系数为
14．设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是
底角为的等腰三角形，则的离心率为
15．已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为
16.下列4个命题：
①；
②已知随机变量X服从正态分布N（3，），P（X≤6）=0．72，则P（X≤0）=0．28;
③函数为奇函数的充要条件是；
④已知则方向上的投影为，
其中正确命题的序号是 .
三、解答题:本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17、（本题满分12分）
已知向量，，，其中、、为的内角.
(1)求角的大小；
(2)若，，成等差数列，且，求的长.

18.（本小题满分12分）
为迎接2016年奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：
（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；
8
甲
乙
7
9
5 4 5 4 1
8
4 4 6 7 4
1
9
1
（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值的分布列与期望.

19．（本小题满分12分）
如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,
平面.
(1)证明:平面;
(2)若,,求二面角的正切值.

20．（本小题满分12分）
已知椭圆（）的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆方程；
（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，
且成等比数列，求的值.

21.（本小题共12分）
已知函数，
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

A
C
B
E
O
D
如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若⊙的半径为3，求的长．

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为
ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.

24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲
已知函数
(1)解不等式；
(2)若，且，求证：.

2014四校联考数学（理）答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
A
D
C
A
C
B
C
B
B
（2） 填空题：
13．-40 14． 15． 16．②④
三、解答题：
17．解：(Ⅰ) ………………………(2分)
对于，
………………………(4分)
又， ………………………(6分)
(Ⅱ)由，
由正弦定理得 ………………………(8分)
，
即 ……………………(10分)
由余弦弦定理，
， ……………(12分)
18.（本小题满分12分）
解:（1）有茎叶图可知，甲运动员七轮比赛的得分情况为：78，81，84，85，84，85，91．
所以甲每轮比赛的平均得分为

显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，分别为81，84，85，84，85，
其中81分与平均得分的绝对值大于2，所求概率。………6分
（2）设甲、乙两名运动员的得分分别为，则得分之差的绝对值为。
显然，由茎叶图可知，的可能取值为0，1，2，3，5，6．
当=0时，，故
当=1时，或，故
当=2时，或，故
当=3时，或，故
当=5时，，故
当=6时，，故所以的分布列为：

0
1
2
3
5
6

………12分
19. 解:
(1)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面. ---------5分
(2)由(1)可知平面,而平面,所以,而为矩形,
所以为正方形,于是.
以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则
、、、,于是,.
设平面的一个法向量为,则,从而,
令,得.而平面的一个法向量为.
所以二面角的余弦值为,
于是二面角的正切值为3. ----------12分

20、（本小题满分12分）
x
y
O
D
B
E
解：（Ⅰ）由已知，. ……………2分
解得， ……………4分
所以，
椭圆的方程为. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点的直线为，
由 得， ……………6分
所以，所以， ……………7分
依题意，.
因为成等比数列，所以，
所以，即， ……………9分
当时，，无解， ……………10分
当时，，解得， ……………11分
所以，解得，
所以，当成等比数列时，. ……………12分
２１. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为，
当时，， ，

1

—
0
+

极小

所以在处取得极小值1.
（Ⅱ），

①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增.

22证明：（Ⅰ）如图，连接OC,OA =OB,CA=CB,
是圆的半径，是圆的切线． （3分）
（Ⅱ）是直径，
又
2 （5分）

∽ （7分）
设，则， …（9分）
（10）分

23. （本小题满分10分）
解：(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5. -----------5分
(2)法一：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得(3－t)2＋(t)2＝5，
即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，
所以
又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.-----------10分
(2)法二：因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，
直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.
由得x2－3x＋2＝0.
解得：或
不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，
又点P的坐标为(3，)，
故|PA|＋|PB|＝＋＝3. -----------10分

24.（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝
当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；
当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；
当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．
所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}． …………5分
（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|． …………6分
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，
所以|ab－1|＞|a－b|．
故所证不等式成立． ……………10分

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