三角函数6.docx

§4.6　正弦定理、余弦定理

1.正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
3.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
4.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.
(3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B. (　　)
(2)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2).
(　　)
(3)若△ABC中，acos B＝bcos A，则△ABC是等腰三角形. (　　)
(4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形. (　　)
(5)在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则此三角形是钝角三角形. (　　)
(6)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则此三角形是锐角三角形. (　　)
2.在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝ .

3.(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 .

4.(2013·湖南改编)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于 .

5.(2013·陕西改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为 三角形.

题型一　利用正弦定理解三角形
例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.

　已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝， A＋C＝2B，则角A的大小为 .

题型二　利用余弦定理求解三角形
例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积.

　已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积.

题型三　正弦定理、余弦定理的综合应用
例3　(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

　在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状.

代数式化简或三角运算不当致误

典例：(14分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状.

方法与技巧
1.应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.
2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明.
3.合理利用换元法、代入法解决实际问题.
失误与防范
1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论.
2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.

A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
一、填空题
1.在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C的度数为 .

2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于 .

3.(2012·湖南改编)△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 .

4.(2013·辽宁改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则∠B等于 .

5.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于 .

6.(2013·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .

7.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则a＝ .

二、解答题
8.(2013·北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值.

9.(2013·江西)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围.