讨论隐函数的存在性连续性与可微性不仅是出于深刻了市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,隐函数是函数关系另一个表现形式.讨论隐函数存在性、连续性与可微性,不但是出于深刻理解这类函数本身需要,同时又为后面研究隐函数组存在性问题打好了基础.,11.1 隐函数存在性,四、隐函数求导数举例,一、隐函数概念,二、隐函数存在性条件分析,三、隐函数定理,第十一章 隐函数,第1页,第1页,方程式所拟定函数,通常,称为隐函数,比如：,一、隐函数概念,显函数：,因变量可由自变量某一分析式来表示,函数称为显函数比如：,隐函数：,自变量与因变量之间关系是由某一个,隐函数普通定义：,第2页,第2页,则成立恒等式,有惟一拟定,与之相应,能使,且满足方程(1),则称由方程(1)拟定了一个定义在 ,值域含于,隐函数.假如把此隐函数记为,第3页,第3页,取值范围比如由方程可拟定下列两,个函数：,注2,不是任一方程 都能拟定隐函数,比如 显然不能拟定任何隐函数,注1,隐函数普通不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这,与它能否用显函数表示无关,注3,隐函数普通需要同时指出自变量与因变量,第4页,第4页,在,2,还要讨论由多个方程拟定隐函数组问题.,注4,类似地可定义多元隐函数比如:,由方程,拟定隐函数,由方程,拟定隐函数,等,等.,第5页,第5页,二、隐函数存在性条件分析,条件时，由方程(1)能拟定隐函数 ,并使,要讨论问题是：当函数 满足如何一些,该隐函数含有连续、可微等良好性质?,(a),把上述看作曲面 与坐标,平面交线，故至少要求该交集非空，即,，满足,连续是合理,(b),为使 在 连续，故要求 在点,第6页,第6页,由此可见，是一个主要条件,点 存在切线，而此切线是曲面 在点,切平面与 交线，故应要求 在,(c),为使 在 可导，即曲线在,点 可微，且,(d),在以上条件下，通过复合求导数,由(1)得到,第7页,第7页,三、隐函数定理,定理11.1,(隐函数存在惟一性定理),设方程(1)中,函数 满足下列四个条件：,(i),在以 为内点某区域 上连续；,(ii),(初始条件)；,(iii),在 内存在连续偏导数 ；,(iv),则有下列结论成立：,第8页,第8页,在 上连续,惟一地拟定了一个隐函数,它满足：,且当 时,使得,证,首先证实隐函数存在与惟一性,证实过程归结起来有下列四个环节(见图11,1)：,存在某邻域 ，在 内由方程(1),第9页,第9页,(c),同号两边伸,(d),利用介值性,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,图,111,第10页,第10页,(a)“一点正,一片正”,由条件(iv),不妨设,由于 连续，因此依据,保号性，使得,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,第11页,第11页,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(b)“正、负上下分”,因 故,把 看作 函数，它在 上,严格增，且连续(据条件(i),尤其对于函数,由条,第12页,第12页,由于 关于 连续，故由,(b)结论，依据保号性，使得,(c),同号两边伸,(c)“同号两边伸”,(d)“利用介值性”,因,关于 连续,且严,格增，故由(c)结论，依据介值性定理,存在惟,第13页,第13页,(d),利用介值性,满足,一,就证得存在惟一隐函数:,由任意性,这,若记 则定理结论 得证,下面再来证实上述隐函数连续性:,欲证上述 在 连续.,第14页,第14页,类似于前面(c)，使得,由 对 严格增，而,推知,.,.,图,112,足够小，使得,如图 112 所表示,取,第15页,第15页,在 上处处连续,因此 在连续.由任意性,便证得,且当 时，有,类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有,第16页,第16页,注1,定理 11.1 条件(i)(iv)既是充足条件,又,是一组十分主要条件.比如：,在点 虽,不满足条件(iv)，但仍能拟定惟一隐函数,(双纽线),在,点 同样不满足,条件(iv);如图113,所表示,在该点无论多,图,113,么小邻域内,确实,第17页,第17页,用这两个较强条件，一则是使用时便于检查，,作用,二则是在后面定理 11.2 中它们还将起到实质性,注3,读者必须注意,定理 11.1 是一个,局部性,隐,函数存在定理比如从以上双纽线图形看出:除了,三点以外,曲线上其余各点处都,注 2,条件(iii)、(iv)在证实中只是用来确保在邻,域 内 关于为严格单调之因此采,不能拟定惟一隐函数.,第18页,第18页,存在局部隐函数 (这不难用定理 11.1 加,以检查，见后面第四段例),注4,在方程 中,与 地位是平等,.当条件(iii)、(iv)改为,时，将存在局部连续隐函数,连续,且,“,”,第19页,第19页,定理 11.2,(隐函数可微性定理),设函数 满,足定理 11.1 中条件(i)(iv),在 内还存在连,续 .则由方程 所拟定隐,函数 在,I,内有连续导函数，且,(注:其中,示于定理11.1 证实(d).,第20页,第20页,使用微分中值定理,使得,证,设则,由条件易知,F,可微，并有,第21页,第21页,显然也是连续函数,因 都是连续函数,故 时,并有,第22页,第22页,(3),注1,当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函,数也二阶可导应用两次复合求导法，得,将(2)式代入上式，经整理后得到,第23页,第23页,注2,利用公式(2),(3)求隐函数极值:,(a)求使 点 ,即 解,(b)在点 处因，而使(3)式化简为,(4),(c)由极值判别法,当 时,隐函数,在 取得极大值(或极小值),第24页,第24页,设在以点 为内点某区域 上,则存在某邻域 在其内存在惟一、连,续可微隐函数 ，且有,注3,由方程,(5),拟定隐函数相关定理简述下列：,F,所有一阶偏导数都连续，并满足,第25页,第25页,(6),更普通地，由方程,拟定隐函数 相关定理,见华,师大下册 p.149 上定理18.3,这里不再详述.,第26页,第26页,解,令 它有连续,求解 分别得到,四、隐函数求导数举例,例1,试讨论双纽线方程,所能拟定隐函数,第27页,第27页,再考虑隐函数极值由于,在其它所有点处都存在局部可微隐函数,因此，除 这三点外，曲线上在其它,所有点处都存在局部可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,第28页,第28页,性又知,第29页,第29页,各点处都能拟定局部隐函数,例2,讨论笛卡儿叶形线(图114),(7),所拟定隐函数 存在,性，并求其一阶、二阶导数,解,令,先求出在曲线(7)上使,点为,.除此两点外,方程(7)在其它,图 11,4,第30页,第30页,然后再算出:,为了使用公式(3),先算出:,由公式(2)求得,第31页,第31页,第32页,第32页,平切线和垂直切线,类似于例1 办法,求出曲线上使 点为,在几何上，它是两条曲线,和,交点(见图).容易验证,因此,隐函数在点 取得极大值,以上讨论同时阐明,该曲线在点 和 分别有水,例3,试求由方程 所拟定隐,函数 在点 处全微分,第33页,第33页,解法 1(形式计算法),对方程两边微分，得,将 代入，又得,解法 2(隐函数法),设,由于 上处处连续,而,第34页,第34页,因此在点,P,附近能惟一地拟定连续可微隐函数,且可求得它偏导数下列：,以 代入,便得到,例4,用隐函数办法处理反函数存在性及其导数.,解,设 在 某邻域内有连续导函数,且 现在来考察方程,第35页,第35页,由于,因此只要 就能满足隐函数定理所有,条件,由方程(8)便能拟定连续可微隐函数,(8),因它满足 故它就是,反函数.应用隐函数求导公式,可得,第36页,第36页,故将此两式相加便得所需结果.,例 5,设 是由方程,所拟定隐函数,其中,F,含有连续二阶偏导数,试证:,证,易知 于是有,由此得到 再分别对,x,与,y,求偏导数,又得 因在假设条件下,第37页,第37页,1,在隐函数定义中，为何强调必须指出,3,设能拟定连续可微隐函数:,(由此能阐明些什么?),验证：,2,在定理 18.1 对隐函数连续性进行证实时，,复习思考题,因变量取值范围？(结合例题加以阐明.),最后为何要用到隐函数惟一性？,第38页,第38页,4.,试对例3 两种解法(形式计算法与隐函数,法)作一比较,指出两者各有哪些优缺点?,第39页,第39页,