旋量概念及其在理论力学中的应用.pdf

第八卷第三期19 01年9月广东工学院学报JournalofGu a ngdongInstituteofTe ehnologyVol.8Sep temberNo.31991旋量概念及其在理论力学中的应用李 跪科(土木工程系)摘要本文讨论旋量方法在理论力学教学中的应用。利用旋量概念可使分别属于静力学、运动学和动力学中不 同物理涵义的力学概念在数学上得到统一,并使刚体动力学方 程的表达具有极其 精炼的形式.关键词:旋量方法,刚体运动学,刚体动力学。多刚体系统的旋量方法已有专著论述,力学学报 第四期(王98 8年)“多刚体系 统动力学 的旋量矩阵方法”2一文进一步提出将经典力学中的旋量 概念以矩阵形式表示,并对这种旋量矩阵方法的基本理论作了详细叙述。旋量的矩阵记 法,具有使旋量融矢量与矢量矩于一体的优点,却避免了以往对 偶 数记 法的缺点;并使牛 顿欧拉方程具有极其简明的表达形式。本文试图在旋量方 法应用于理论力学教学方面进行一些探讨。1旋量概念在理论力学中有一些成对 出现的物理 量,如力系向某不点简化的主 矢不妇主矩丽,刚体的角速度。和刚体中某个点的速度V,刚体的动 量 Q和相对某个点的动量矩H等等。每一对物理量由两个矢量组成,其 中一个矢量随着所选 取的参考点的不 同而 改变,而另一个矢量与参考点无关。这种成对的矢量 组合在文 献中被命名为螺旋量(S c:ew)或简称为旋量,尽管不 同的旋量有着不 同的物理性质,但却具有共同的数学特征。设 旋量由a、a产组成,其 中矢量a与参考点无关,矢量a取 决于参考点的位置。当参考点由O,改变为O:时,相对 不同参考点O;与O:的矢量a鉴与a盆之 间满足以下关系式:a蛋一a+r;:xa 二其 中r:为自02指向O:的矢量(图l收稿日期:19 01、03、30广东工学院学报8卷压2,rXa图1在理论力学 中,可以定义以下旋量,如 表l所 示:表1旋量 及其特殊点(0,)的物理意义一生晏一李粤二竺量一)李)李一一些 竺夔邑一1誉1李动量 旋量Q】HO,点的物理意 义平面力系的合力作用点平面 运动 刚体的瞬时 速度中心绕 定 轴转动 刚体的打击中心直接验算可以证实,力旋量、速度旋量和动量旋量都严格满足变换关系 式(1)。旋量概念在经典力学中已有近 二百年历史,从1809年Po in so t将力系简化为主矢和主矩开始,就已形 成初始的旋量 概念。近年来 旋量作为一种计算工具已在空 间机构学中得到实际应用仁:、:。2合力作用点,瞬心和打击中心对于平面力系或刚体作平面运动的特殊情形,矢量a与a产相互正 交,即aa尹一0 “。“.(2)选择一特殊的参考点,记作0.,其指向O:点的矢 径以r,表示(见图2),令r,满足r铃=a1Xaa2(3)3期李碗科:旋量概念及其在理论力学中的应用将(3)式代 替(l)式的r:,一,公算a:,考 虑正交条件(2),导出a孟=a竺+r,xa一af+(a1Xaa忍)只a=O,(4)可见0,点的特殊性在于 与O。有关的矢 量a蛋恒等于 零。对于不同的旋量O,点有着不 同的物理涵义。若平面力系相对O,点的主矩为零,则O。点为力系的合力作用点。若平 面运 动刚体中的O点处的速度为零,则O,点为刚体的瞬时速 度 中心。对于绕 定 轴O,转动的刚体,0.在文献 中也被称作动 量矩 瞬心,设V。为质心C的速度,m为质量,则 动 量Q一mV。,又设V,为O,点的速度,H,为刚体相对0.点的动量 矩,M,为作用于刚体的外力相对O,点的主矩,列写 以动点O。为矩 心的动量矩 定理:dH.dt+V,xQ=M,(5)。,点的特殊性质要求R,恒等于零,由于矢量砚一6丁己.同时垂直于云不讯,因此,污.必与Q=mV。平 行,(5)式的左边 必等于 零,推论 出M,必为零,即外力相对O,点的合力矩M,为零。因此,若在0.点处对刚体施加碰撞力,则在轴承O:处必 不会引起约 束 反力,表明O,点是刚体的打击中心(见 图3)。上述特殊点0.对于 不同旋量的不 同物理意义在表1中列出。由此可见,理论力学中讲述的分别属于静力学、运动学和动力学的合力作用点、瞬心 和打击中心 三种不同概念可以利用 旋量概念抽象地加以概括。图33刚体动力学设 刚体作任意运 动,将刚体的角速度。及刚体中任 意参考点O的速度V组 成速度旋量,刚体的动量 Q及相 对O点的动量矩H组成动量旋量,刚体上作用力的主矢F及相对O点的主10矩丽组 成力旋量。上述各旋量 记作斌广东工学院学报8卷Q、F,用矩阵形式表示为:命一目。一!封户一暴(6)设m,J为刚体的质量和相对O点的惯量张量,。为O点指向质心C的矢 径,则刚体的动量和相对 动点O的动量矩计算公式为Q=m(V+。x。),H=J0+r n。又V(7)公式(7)可利用旋量形 式简明地 表示为:/、Z、广、Q一 中 V ,.,.:(8)其中中为广义惯量矩阵,定义为:予二一mPoXJ竺mPeX)-、-,一(9)刚体的动量定 理及相对动点O的动量矩定 理为尸、子一、do.一二言一万二十。XQ一厂、吐(写T-T_毛 戈10Ul l,_丫下,甲rJ户、币 奋.一一C DXn十VX切一I V lldt其 中带波浪号的导 数符号表示相对刚体的相对 导数。公 式(10)也可写作简明的旋量形式:产、沪/、dQ.芬六_会一,;,一万了下v兄一1.”.”二二”.”.、l 上aI其中矩阵V定义 为图4二r孟。v一1一一tV:。:12)旋量方程(1。)(1 1)各包含2个矢量方程或6个标量方程。可以认 为这两个旋 量方程是刚体动力学的最精 练、最优 美的表达形式。这个结果是ya ng(A.T.)于1971年导 出的:。4旋量的变换在工程实际 中常需要 分析由多个刚体用铰联 结成的机械系统,因此在动力学计算过 程 中必需将旋量 对不 同参考点进行变换。由于矢量a对任何参考点都 保持不变,矢量a产的 变换按公 式(1)进行,因此可写出旋量自Oj点向Oj点的矩 阵形式变换公式。为明确起见,将矢量r加以角标i j,以表示 是从Oj点变换到O点:(13)一a J一a j,r.l.!k、Ie se sJ e s0l1r1jx一一、!.l e eJ一a ia i3期李婉科:旋量概念及其在理论力学中的应用将上式用 旋量符号简明地表示为a,一S,ja j ,”。(1 4)其中-八飞;_石,1_r、。ai一l_万l/、l_;l节百-一l,J_、,l,找1一!l,O节币-.J口,.,二,.“.,二二,.二吸 J 匀,LaiJ一LajJ一七r ilIJS,j称 为Oj至O;的旋量变换矩 阵。设ok为另 一参考点(见 图5),与(1 4)式 类 似,旋量从Ok点向O点和OJ点的变换公式分别为:/、a i之aj二5jkak “,(1 6火协尹、宝梦图5其 中、l s ele e J01ak二戴一:,),、jk一LrikxIJ七(17)rik火,、l e s e ee e J/a kk,k一a 一a声S将(1 6)的第二式代入(1 4)式,导出/、2入/、厂、a i二 S:j sj ka k ,(1 8)与(16)的第一 式对比可导 出了气、子入2、S*k一S;jSjk (1 9)因此,不同参考点之 间的旋量变换矩 阵可以利用(1 9)式进行计算。关于 旋量在多刚体系统动力学 中的具体应用,在文献臼、“中有完整的叙述。从以上对 旋量基本概 念的介绍 可以看出,作为一种经典力学概 念的旋 量,不仅是分析空间机构学和机器人学的有力武器,而且 对于理论力学教学也 具有重要的启示。它能够将静力学、运 动学和动力学中三 种 不同涵义的力学概念利 用旋量 概念抽象地加以概括,并使刚体的动量 定理和相对任 意点的动量矩定 理统一在旋量形 式的牛顿欧拉方程 中,从而使刚体动力学方程具有更精练的、优美的表达形式。1 2广东工学院学报8卷参考文献1刘 延柱.洪嘉 振,杨海 兴.多刚体系统动力学.北 京:高等教育 出版社,1989,166、2032刘延柱,多刚体系统 动力学的旋量矩 阵方法.力学学报,19 88;2 D(4),3 3 53433Ya刀g,A.T二In ertiaFo r e eAnalysisof SpatialMeeha nisms,J.Eng.fo rIndustry,A SMETr a n s1971;93(1):27一334余 文铎.动力学中的新概 念一一动量 矩瞬心.力学与实践,199。;1 2(6):5 9一6-TheCon e ep tofSer ewa nditsAp plieationinTheo retiealMeeha niesL1Wanke(DePa rtme ntofCivil Engine e ring)AbstractT heap plieationoftheser ewmethodintheeour seofta e o r etiealmeeh-a nies15dieussedinPres e ntpaPe r.Usingthes e reweo n e eptsfr omstatie s,kin ematie sa nddyn amieswithdifferentphysie alme a ningseanbeunifiedmathematieall了a ndthedyn amiealequ atio nsofrigidbodj reanbeexpr ess edina nextr emeeomPaetfo rm.Keywords:serewmethod;kinematiesofrigidbody;dynamie sofrigidbody.