北京市海淀区高三数学第四次月考-理-新人教B版.doc

北师特学校2012—2013年度第一学期第四次月考理科数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、已知集合，，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，，所以，选D.
2、已知复数，则的虚部为（ ）
A、1 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由得，设，则，所以，解得，所以虚部为1，选A.
3、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是 （ ）
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为，所以圆锥的体积为，半球的体积为，所以几何体的总体积为，选A.
4、方程的曲线是 （ ）
A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线
【答案】C
【解析】由得，即，为两条直线，选C.
5、已知正项数列中，，，，则等于
（A）16 （B）8 （C） （D）4
【答案】D
【解析】由可知数列是等差数列，且以为首项，公差，所以数列的通项公式为，所以，即。选D.
6、已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为
（A） 　 （B） 　（C） 　　 （D）
【答案】D
【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形，所以，所以点，代入双曲线方程，当时，，得，所以由，的，即，所以，解得离心率，选D.
7、△外接圆的半径为，圆心为，且， ，则等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由得，所以，即时的中点，所以为外接圆的直径,。则，因为，所以为正三角形，所以，且，所以，选C.
8、定义在R上的函数，则的图像与直线的交点为、、且，则下列说法错误的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由，得，解得或，当时。又，所以，所以 ，所以D错误，选D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9、已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为____________．
【答案】4
【解析】因为点可行域内，所以做出可行域，由图象可知当当点P位于直线时，即，此时点P到直线的距离最大为。

10、在△中，若，则 ．
【答案】
【解析】根据正弦定理可得，即，解得，因为，所以，所以，所以。
11、如图，是半径为的圆的直径，点 在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则= ； ．

【答案】
【解析】点A在直径BC上的射影E是OC的中点,可得，所以，在中，，所以由切割线定理可得。
12、已知若的最大值为8，则k=_____
【答案】
【解析】做出的图象。因为的最大值为8，所以此时，说明此时直线经过区域内截距做大的点，，即直线也经过点。由，解得，即，代入直线得，。
13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是_____________(填，，)
．
【答案】
【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，甲乙都有5组数据，此时甲乙的平均数为，，所以。
14、对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，，即。两边平方得，即，即，即，即数列的任意两项之和为，所以，即。所以，解得或（舍去）。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15、（本小题共13分）
已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域．
16、（本小题共13分）
如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。
（Ⅰ）求证：
(Ⅱ) 求证：
（Ⅲ）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。
17、（本小题共13分）
数列{}中，，，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
18、（本小题共13分）
已知函数（）.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
(Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求 的取值范围。

19、（本小题共14分）
已知椭圆C：，左焦点，且离心率
(Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A. 求证：直线过定点,并求出定点的坐标.

20、（本小题共14分）
在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，，
求证：对任意的，.

参考答案：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
A
C
D
D
C
D

二、填空题（每题5分，共30分）
9、___4_________；10、_______；11、___；12、_______；13、______________；14、__________；
三、解答题
15、（共13分）
解：（Ⅰ）因为，且，
所以，．
因为
．
所以． ……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
所以

，．
因为，所以，当时，取最大值；
当时，取最小值．
所以函数的值域为． ……………………13分
16、（Ⅰ） , 点E为的中点,连接。
的中位线 // ……2分
又
……4分
（II） 正方形中,
由已知可得：， …….6分
, …….7分

…….8分
（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
………9分
设
……10分
设平面的法向量为
则
得 ……11分
取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 ……12分
要使二面角的大小为
而
解得：
当=时，二面角的大小为 13分
17、解：(1)∴
∴为常数列，∴{an}是以为首项的等差数列，
设，,∴，∴．
(2)∵，令，得．
当时，；当时，；当时，．
∴当时，
，．
当时，．
∴
18解：（I） ……2分
当 即
f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（, ………4分
当 ， 即
f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，） ……6分
（II）得 ……8分
+3 ……9分
………10分
……11分
……12分 即： ……13分
19解：（Ⅰ）由题意可知： ……1分
解得 ………2分
所以椭圆的方程为： ……3分
（II）证明：由方程组 …4分

整理得 ………..5分
设
则 …….6分
由已知，且椭圆的右顶点为 ………7分
……… 8分

即
也即 …… 10分
整理得： ……11分
解得均满足 ……12分
当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分
当时，直线的方程为,过定点
故直线过定点，且定点的坐标为 …….14分
20、（共14分）
（Ⅰ）解：因为是单调递增数列，
所以，.
令，，，
所以. ………………4分
（Ⅱ）证明：数列不能为等比数列.
用反证法证明：
假设数列是公比为的等比数列，，.
因为单调递增，所以.
因为，都成立.
所以， ①
因为，所以，使得当时，.
因为.
所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立.………9分
（Ⅲ）证明：观察： ，，，…，猜想：.
用数学归纳法证明：
（1）当时，成立；
（2）假设当时，成立；
当时，

所以.
根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.
由已知得，.
所以.
所以当时，.
因为.
所以对任意，.
对任意，存在，使得，
因为数列{}单调递增，
所以，.
因为，
所以. ………………14分