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姓名
二次根式（1）
1．知识回顾：
（1）4的平方根是____ _；0的平方根是______ ；－16的平方根是____ .
5的平方根是 ；5的算术平方根是____ .
2． 叫做二次根式．
3．下列式子哪些是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、
例1下列式子满足什么条件时是二次根式？
，，，，

例2 当x是多少时，在实数范围内有意义？

例3当x取何值时，+在实数范围内有意义？

例4 (1)已知y=++5，求值． (2)若+=0，求a2004+b2004的值．

1．填空题：
（1）25的平方根是 ，4的算术平方根为 ，的算术平方根是 ；的立方根是 ．
（2）若有意义，则的取值范围是 ．若7，则 ．（3）若有意义，则 ． 若有意义，则
2. 已知a、b为实数，且
+2=b+4，求a、b的值. 3．若求的值；

二次根式（2）
重点：应用（）2=（≥0）进行计算.
例1已知+=0，求xy值？2计算1)（）22)（2）23)（）2.

例3　化简（1） （2） （3） （4）

例4　填空：当≥0时，=_____；　当<0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．（1）若=，则可以是什么数？（2）若=-，则可以是什么数？
例5当x>2时，化简-

练习：
1. ()2=_________；（）2=_________；2.()2=_________；（7）2=_________；
3.()2=______；（）2=________；4. ()2=____；（）2=________；
5. ()2=______；（≥0） 6.-=________． 7. ，8. ， ， （x≥1）
9. ， ， （）；
10.（）2= ；（3）2= ； ； ；
11．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 （4）3x2-5

二次根式的乘除（3）
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）＝ ，＝ ； （2）＝ ，＝ ；　
（3）＝ ，＝ 　；　　　
二次根式乘法法则即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
例1计算下列各题：
（1） （2）；（3）；（4）；（5）；

练习（1）；（2）；（3）（4）；

（5） ； （6）.（7）．

2．等式成立的条件是 .　　　　　　　
2．积的算术平方根的性质：

即：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．
例2化简：
（1） ；（2）； （3）；　（4）．

例3化简：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

练习（1）； （2）；（3） ；（4）；

练习（1）等式成立的条件是 ．
(2) = × = × = × = （3）×= = = =
（4） = = × = 3×2=
（5）·=
2．化简：
（1）； （2）；（3）； （4）；

二次根式的乘除（4）
计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？
（1）＝ 　，＝ 　；　　（2）＝ ，＝ ．
1.二次根式的除法法则：
（,>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
例1 计算下列各题：
（1）；　　（2）； （3）； （4）；

1．计算下列各式：
（1）；　　　　（2）； （3）；　　（4）；

2.商的算术平方根的性质：
（，＞０）
例2 化简：
(1) ； (2)； (3)； (4).

练习：化简下列各式:
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；

2．最简二次根式
满足下列条件：(1) 被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.
例4 下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是?
(1)，(2)， (3)， (4)， (5)，(6)， (7)，(8) ，
(9) (10)， (11)，(12)(>)

1．计算的结果是（ 　） A． B． C． D．
2．阅读下列运算过程：，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简的结果是（　 ） A．2 B．6 C． D．
3.如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是 （ ）
A.（y>0） B．（y>0）C．（y>0） D．以上都不对
4．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得 （ ）
A． B．C．- D．-
5．在下列各式中，化简正确的是 （ ）
A．=3 B．=±C．=a2 D． =x
6．化简的结果是 （ ）A． － B．－ C．－ D．－
7．分母有理化: (1) =_________；(2) =________；(3) =______．
12．等式成立的条件是 .
13．如果，，则用的代数式表示为　　　　　　．　
14.若y=，且x、y为实数，求的值．

二次根式的加减（5）
1．下面与是同类二次根式的是（　　）A． B． C． D．
2．计算：⑴ ⑵

例2 已知，求的值．

计算下列各题．
⑴ ⑵

例3 若x，y为实数，
且y＝＋＋．求－的值．

1.计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．
2． 3.在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有_____ ___．
3.若最简二次根式与是同类二次根式，则m= ，n= ．
4．计算下列各题
⑴ ⑵

练习
1．已知，则x等于（ ） 2．的结果是 （ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4 A． B． C． D．

3．计算
⑴ ⑵

4．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．

二次根式的加减（6）
知识点
1．二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时先算括号内的（或先去括号）．
2．整式的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用．
3．二次根式的运算结果必须是最简形式．
例1　计算:
⑴； ⑵ ⑶； ⑷．

1计算：⑴； ⑵； ⑶；

例2：⑴ ⑵； ⑶

例3 设的整数部分为x，小数部分为y，试求的值．

练习1. 已知，那么x的值为 ．
2．已知，求的值.
6． ； ．
7．若，则 = ．
9．计算：⑴； ⑵⑶ ；

1.因式分解
⑴； ⑵； ⑶； ⑷；

⑸；⑹． (7)4x2－16⑵a2b2－1

2.分解因式⑴x4－y4； （2）a2－b2＋a－b；（3）a3b－ab；（4）（5）

（6）（7）（8）x2y－2xy+y（9）

3.若是完全平方式，则数的值是 ．
4.分解因式（1）（2）a4－81（3）a3(a+b)2－a(a＋b)2（4）

（5） （6） （7）

（8） （9）

5.已知，求的值．