立体几何练习.doc

四川省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练
立体几何

一、选择、填空题
1、（2016年四川省高考）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。

2、（2015年四川省高考）三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是，，的中点，则三棱锥的体积是_______.
3、（四川省2016届高三预测金卷 ）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（　　）

A．2 B． C． D．3
4、（成都市2016届高三第二次诊断）已知某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图 不可能为

5、（成都市都江堰2016届高三11月调研）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A． B． C． D．

6、（成都市高新区2016届高三10月检测）某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何体的表面积为（ [来源:学优高考网] ）
A． B． C． D ．

7、（乐山市高中2016届高三第二次调查研究）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是
A. 112 B. 80 C. 72 D. 64

8、（内江市2016届高三第四次（3月）模拟）右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的体积为 .

9、（成都市双流中学2017届高三9月月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．

10、（遂宁市2016届高三第二次诊断考试）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
则这个几何体的体积是
A．72 B．80 C．120 D．144

11、（宜宾市2016届高三第二次诊断）某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 .

12、（成都市龙泉驿区2016届高三5月模拟）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A．16
B．32
C．48
D．144

二、解答题
1、（2016年四川省高考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=½AD。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

2、（2015年四川省高考）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（II）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；
（III）证明：平面。

3、（四川省2016届高三预测金卷 ）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点.
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；
(2)证明：B1F∥平面A1BE．

4、（成都市2016届高三第二次诊断） 在三棱柱ABC - A1BlC1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB =90°，且AC =1，AB =2．E为BB1的中点，M为AC上一点，AM =AC．
(I)若三棱锥A1一C1ME的体积为，求AA1的长；
(Ⅱ)证明：CB1∥平面A1EM．

5、（成都市都江堰2016届高三11月调研）在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，,,点位的中点
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求到平面的距离。

6、（成都市高新区2016届高三10月检测）四棱锥中，底面是边长为8的菱形，，若，平面⊥平面,E、F分别为BC、PA的中点。
（1）求证：；
（2）求证：⊥；
（3）求三棱锥的体积。

7、（乐山市高中2016届高三第二次调查研究）如图，四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，.
（1）求证：;
（2）为中点，为中点，求四棱锥的体积.

8、（内江市2016届高三第四次（3月）模拟）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD＝60°，PB＝2√3，PA＝ED＝2AE＝2．
（1）若=λ（λ∈R），且PA∥平面，求λ的值；
（2）求证：平面；
(3)求直线PB与平面ABCD所成的角．

9、（成都市双流中学2017届高三9月月考）如图，在中，，是上的高，沿把折起，使.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求三棱锥的表面积．

10、（遂宁市2016届高三第二次诊断考试）在下图所示的几何体中，底面为正方形，⊥平面，，且，为线段的中点．
（1）证明：；
（2）求四棱锥的体积．

11、（宜宾市2016届高三第二次诊断）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱的长是，点分别是的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明:平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

12、（成都市龙泉驿区2016届高三5月模拟）已知三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC＝BC，点D是AB的中点．
(Ⅰ)求证：BC1∥平面CA1D；
(Ⅱ)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1＝，求三棱锥B1－A1DC的体积．

参考答案
一、填空、选择题
1、【答案】

2、【答案】
【解析】采用等积法，
3、【答案】C
解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．
则体积为=，解得x=．
故选：C．
4、D　　　　5、B
6、A　　　　7、B　　8、　　9、D　　10、　
11、　　
12、答案与解析：C　由题意可得，该几何体为四棱锥P－ABCD，如图所示，所以VP－ABCD＝××6×6＝48.故选C.

二、解答题
1、【答案】（1）取棱AD的中点M，证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】
试题分析：本题考查线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，先由线面垂直得到线线垂直，在利用线面垂直的性质得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直.
试题解析：

2、【解答】
（I）如答图1所示

（II）如答图2所示，连接，易得四边形和四边形为，所以，，又∵平面，且平面，∴平面，平面，又∵平面，且，所以平面平面
（III）如答图3所示，易得，∴平面,
得∵平面，∴，同理可得，，又，
∴平面。
3、解：(1)设G是AA1的中点，连接GE，BG．∵E为DD1的中点，ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG=．设正方体的棱长为，∴，，，
∴直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为：；……6分
(2)证明：连接EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连接EH．
∵H为AB1的中点，且B1H=C1D，B1H∥C1D，而EF=C1D，EF∥C1D，
∴B1H∥EF且B1H=EF，四边形B1FEH为平行四边形，即B1F∥EH，
又∵B1F平面A1BE且EH平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE． ……12分
4、

5、解析：（Ⅰ）证明：侧面底面于，面，，
底面，
面

在中，,故，
在直角梯形中，，，故
由,得，
又因为，
所以平面……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面， 为平面的斜线段的中点，
故到平面的距离。
6、

7、

8、解：（1）连接交于点，连接.
因为平面，平面平面，
所以.
因为，所以. …………2分
因为，所以.………3分
所以. …………………………4分

（2）因为
所以.
所以. ………………6分
又平面平面，且平面平面,
平面． ………………8分
（3）由（2）知，平面
∴　∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，………………9分
在RtΔPEB中，
，
60°， ………………11分
直线PB与平面ABCD所成的角为60°． ………………12分

9、 (1)证明　∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD，又DB∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC.
(2)解　由(1)知，DA⊥DB，DC⊥DA，
∵DB＝DA＝DC＝1，DB⊥DC，∴AB＝BC＝CA＝，
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝×1×1＝，
S△ABC＝×××sin 60°＝，
∴三棱锥DABC的表面积S＝×3＋＝.
10、解：（1）连接AC，BD．令AC交BD于F．连接NF
∵四边形ABCD是正方形，∴F为BD的中点．
∵N为PB的中点．∴且． ………2分
又∵EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC．
∴四边形NFCE为平行四边形． ………3分
∴NE∥FC，即NE∥AC．
又∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC．
∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．
∵，平面，平面， ………5分
∴⊥平面．
∵NE∥AC，∴NE⊥平面．∴NE⊥PD． ………6分

（2）∵PD⊥平面ABCD，平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，且BC平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．∴BC是四棱锥B－PDCE的高． ………9分
∵，四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=2，EC=1．
………10分
∵， ………11分
∴四棱锥B－CEPD的体积．
……12分
11、（Ⅰ）证明：作的中点,连接,
分别是的中点
……………………………………………………(1分)
又在正方形中，是的中点,[
…………………………………………………………（2分）

四边形是平行四边形
,又平面，平面
平面 ………………………………………………(4分)
（Ⅱ）证明:四边形是边长为的正方形，是的中点,

又侧棱底面,面

又

是等腰三角形， 是的中点,
………………………………………….……………..(5分)
同理
是等腰三角形， 是的中点,
……………………………………………………….（6分）

面
平面 ……………………………………………………(8分)
（Ⅲ）解:侧棱底面,面

由（Ⅱ）知：平面
是三棱锥到平面的距离
分别是的中点
…………………………………………………………(9分)
,

四边形是边长为的正方形，是的中点

三角形是等边三角形
……………………………………………………………（11分）
…………………………………………（12分）
12、解　(Ⅰ)证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE，
因为四边形AA1C1C是矩形，所以E为AC1的中点，
又D是AB的中点，所以DE∥BC1，……………………4分
而DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，所以BC1∥平面CA1D. ……………………………6分
(Ⅱ)由AC＝BC，D是AB的中点，得AB⊥CD，
因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，
又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面AA1B1B. ……………………………8分
又底面ABC为边长为2的正三角形，
则CD＝，BD＝1，BB1＝，
所以A1D＝B1D＝A1B1＝2，S△A1B1D＝，……………………………10分
故三棱锥B1－A1DC的体积VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝××＝1. …………12分