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例谈相似在网格中的构建与应用

在近几年的各类考试中，网格背景题深受命题者的关注与青睐。当网格作为背景时，相关格点之间便容易形成特殊的图形如正方形，直角三角形，勾股定理等知识，具有较强的直观性、操作性，较好地实现了数学基本知识、空间观念与多种数学思维能力的综合与运用，尤其是勾股定理、数形结合等思想方法的运用达到了极点。让我们从中感受到无穷的学习动力和学习乐趣，具有极大的学习创造性和挑战性。
一、相似的判定与性质
例1;（2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A.

思路点拨与解析：借助网格，由已知的可知，最大角∠ACB=135°，故排除选项B、C、D三项， 故选A 。
点评：本题主要考查在网格背景中相似三角形的判定方法，解题的关键是准确把握在网格中的特有的本质; 最大角∠ACB=135°。当然也可利用网格背景分别计算三角形的各边，利用三边对应成比例寻找两三角形相似。在此题中勾股定理、数形结合等思想的运用达到了极点。
例2：（2009年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB
思路点拨：解此题的关键是要处理三角形的边与角的相关信息：BC⊥AE，，，从而证出两三角形相似，要证EF⊥AB，只要证出∠DEC＋∠A=90°，只要利用所证的两三角形相似知识即可证出。
解析：（1）∵ ∴
又 ∠ACB=∠DCE=90°，∴ △ACB∽△DCE．
（2）∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC．又 ∠ABC＋∠A =90°，∴ ∠DEC＋∠A=90°．
∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB．
点评：网格题能充分调动有关背景中的正方形，直角三角形，勾股定理等知识，并让学生经历了观察、思考、猜测，动手操作、自主探索发现等过程. 帮助学生找到解决问题的突破口。

二、寻找位似中心
例3：（2009年山西省）如图，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
思路点拨与解析：位似中心是相似三角形对应顶点的连线的交点，结合坐标网格，可看出AA′与CC′的交点坐标是（9，0）.
点评：解决这类问题的关键要明确位似图形一定是相似形，各对对应点所在的直线都经过位似中心，且各对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，在具体操作时，有时要进行分类寻找对应点，并构造出不同情况的草图，防止漏解现象出现。

三 、坐标位似与应用
例4：（2009年凉山）如图，在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标；
A
B
C

（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；
（3）计算的面积．
思路点拨：在中，由于，利用数形结合，建立平面直角坐标系可判断出点坐标为（2、1）；以原点O为位似中心，相似比为2，也就是将放大到原来的2倍后点A（4，6）、B（4，2）、C（12，4）。计算的面积可直接利用面积公式求，也可通过面积的加减间接求。
解析：（1）画出原点，轴、轴．，
（2）画出图形．
（3）．
点评：位似图形是新课标增添的内容，它反映了两个图形不但相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

两个相似比性质的应用

相似三角形（多边形）的周长比、面积比是本章的重点内容之一，常用于证明线段相等、计算求值、以及解决实际问题，现举例分析如下.

一、周长比等于相似比的拓展
相似三角形（多边形）的周长比等于相似比. 这里注意的是,可以推广相似比的性质，即相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形对应中线和对应角的角平分线的比等于相似比. 由此也可以这么说：相似三角形所有对应线段的比等于相似比.
图1
例1 如图1，在△ABC中，DE∥BC，BE⊥AC, DF⊥AC,若DE=2,BC=4，BE=，且△ABC的周长为12，求△ADE的周长及DF的长.
分析：由题意，易得△ADE∽△ABC，进而利用相似三角形的周长比、对应高的比等于相似比来求未知量.
解：由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，
所以，又因为△ABC的周长为12，△ADE的周长为12×=6.
因为BE⊥AC, DF⊥AC，即DF⊥AE，又因为AE与AC分别是相似三角形的对应边，
所以, 所以DF =BE×=.
点评：运用性质时，要注意“对应”两字，不是对应的高线、中线、角平分线的比不等于相似比.

二、灵活运用面积的比
图2
相似三角形（多边形）面积的比等于相似的比的平方. 应用这一性质要注意二点(1)面积比不是等于相似比；(2)反映的是对应的两个相似三角形之间的面积关系.
例2 如图2，在△ABC中，BC>AC,点D在BC上,且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF,若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
分析：由题意，易得EF∥BD ,，
并推出 △AEF∽△ABD ,,
图3
即 ,从而可求出△ABD的面积.
解：，∴ .
又∵ ,∴ CF是△ACD的中线，
∴ 点F是AD的中点.∵ 点E是AB的中点，
∴ EF∥BD, ∴ △AEF∽△ABD , ,
,∵,
∴ ,∴ , 即 的面积为8.
点评：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.不要犯由EF︰BD=1︰2, 得S△AEF︰S△ABD =1︰2，或S△AEF︰S四边形BDFE =1︰2，之类的错误.

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