等角螺线介绍(台湾繁体).doc

等角螺線介紹

每個黃金矩形都可以被分割成一個正方形和一個更小的黃金矩形，如圖，黃金矩形ABDF可以分成正方形ABCH與小一點的黃金矩形CDFH（其中C是BD的黃金分割點）。如此一直分割下去，你也可以發現：所有黃金矩形的四個端點都會落在AE, BF, CG, DH幾條線上。而且，將大的黃金矩形ABDF繞著O點（BF, DH的交點）順時針旋轉90度，並縮小倍，就可以得到它分割出來的小黃金矩形CDFH。而讓CDFH再繞O點旋轉90度，並縮小倍，又可以得到更小的黃金矩形EFJH。以此類推，會將B點轉換到D點，再轉換至F點，然後是H點……，這表示：。而且。現在看看，既然，那麼OC就是的角平分線，因此CG, AE將BF, DH間的角平分成45度。

我們若考慮螺線的極座標方程式：
視AE為極座標的橫軸，CG為縱軸，O為原點，並令E的點座標為 (1, 0)（表示OE長度為1，與橫軸正向的夾角為0(弳度)），那麼C的座標就是 (,)，A則是 (2,)。同樣的，G的座標就是 (, -)，I是 (, -)，以此類推。因此你可以用 (r,) = (n, ) 來表示螺線上的點。由於 = ，所以 ，代入 r = n，就可以得到該螺線的方程式 r = 或是 r = M（令M = ），也就是螺線上任一點與原點的距離(r)為常數的角度()次方，我們稱這種螺線為“等角螺線”（Equiangular Spiral），等角螺線的特性就是：原點與該螺線上任一點的連線（向徑）和該點切線永遠保持一定的角度。不過，事實和我們上面繪的圖形有稍許差距：螺線的切線並不是這些黃金矩形的邊。