斜拉索非线性振动的奇异摄动解法.pdf

第41卷 第3期2006年6月西 南 交 通 大 学 学 报JOURNAL OF SOUTHWEST J I AOTONGUN I VERSITY Vol.41No.3Jun.2006收稿日期:2005210213作者简介:冉志红(1978-),男,博士研究生,研究方向为既有桥梁的损伤评估,电话:[phone],E2mail:zhihong_ 文章编号:025822724(2006)0320355205斜拉索非线性振动的奇异摄动解法冉志红,李 乔(西南交通大学土木工程学院,四川 成都610031)摘 要:为解决目前斜拉索振动计算的困难,建立了考虑垂度和斜度的斜拉索振动微分方程.用微分方程的奇异摄动解法,导出了频率和振型函数的解析计算式,从而可广泛用于斜拉索的参数识别、索力测试和修正等.数值计算结果表明,用奇异摄动解法导出的公式计算简便,计算误差在0.5%以内.关键词:斜拉索;非线性振动;摄动法中图分类号:U448.27 文献标识码:ASingular Perturbation M ethod for SolvingNon2linear Vibration of Inclined CablesRAN Zhihong,L I Q iao(School of Civil Eng.,Southwest JiaotongUniversity,Chengdu 610031,China)Abstract:To solve the difficult in the calculation of cable vibration,a non2linear dynamic model forinclined cables was set up by taking the geometrical non2linearity into account.The equation wassolved using the singular perturbation method,and the analytical expressions of frequency and for mfunction were derived.The expressions can be widely used for the fields of the measurement correctionof cable force and the identification of parameters of a cable structure.The numerical calculationsindicate that the expressions are simple and practical,and the calculation error is less than 0.5%.Key words:inclined cable;non2linear vibration;perturbationsmethod 近年来,斜拉桥得到了广泛应用,其主跨已超过1 000 m,索的非线性振动已成为研究的热点.考虑抗弯刚度、边界条件、垂度和斜度等影响因素后,振动微分方程变得异常复杂,目前只能对这些因素进行数值分析.但非解析的分析方法很难用于工程实际,因此,寻求既能考虑这些非线性影响因素又能使解析式表达较为简单的计算方法具有重要意义.Benedetini和Rega等研究了悬索的四自由度模型,考虑了11和12两种内共振形式1.他们的试验结果表明,当索的参数满足一定条件时,索的非线性模态相互耦合.文献 2 从非线性动力学的角度用Melnikov方法和留数定理分析了非惯性参考系中斜拉索的全局分岔与混沌性质,并用数值方法模拟该系统的混沌运动.文献3,4 中给出了两端固结时频率方程在实际应用范围内的近似解析解.本文中从微分方程奇异摄动的基本思想出发,导出了频率和振型函数的解析计算式.这种精度较高的频率显式能够满足工程的实际需要,具有较强的实用性.1 微分方程的建立 采用以下假定(如图1):(1)索为柔性,且不考虑索力对索线密度的影响.西 南 交 通 大 学 学 报第41卷图1 斜拉索示意图Fig.1The sketch of an inclined cable(2)面内和面外摆振不具有耦合性,可以将索的振动看成平面问题,且不考虑沿索轴向的振动.(3)振动引起的挠度远小于索的静载挠度.(4)用抛物线代替悬链线,其静力方程为2:y=-4dx(L-x)L2,式中:d为垂度,d=m gL2cos0/(8Fh)(m为沿斜拉索均布的单位长度的质量,g为重力加速度,其余见图1).根据牛顿运动定律,可以建立斜拉索的振动微分方程,并基于上述假定对方程进行简化.按泰勒级数将微分方程的变系数展开取前2项,可得考虑垂度和斜度的微分方程(因旨在计算斜拉索的固有频率,故略去不含时间的非齐次项,这些项可以通过坐标变换消去):m1+a4-axL+ax2L2v=Fh1cos0-b+bxLvxx-EIvxxxx,(1)式中:v=v(x,)为索振动引起的斜拉索;a为考虑垂度影响的项,a=32d2/L2;b为考虑斜度影响的项,b=4dsin0/(Lcos20);vxx和vxxxx分别为斜拉索斜拉索v对坐标x的二阶和四阶偏导数;EI为斜拉索的抗弯刚度;为时间.对于a,b两项,由于各项的分母都含有索长L,分子都含有垂度d,因此可以预测,相对垂度=d/L是非线性影响的关键因素,这与实际物理事实相符.研究表明5:斜度对频率的影响很小,可以忽略,即可以令b=0.而垂度只对低阶影响较大,特征值 展开式(见式(5)中后几项在高阶时才起作用,因此,特征值级数展开式中仅考虑第1项的垂度修正.计算过程中,先按a=0计算,然后修正频率函数第1项0.用分离变量法不难证明,微分方程中动挠度v(x,)可以分离成:v(x,)=(x)sin(+;),(2)式中:为角频率;为初相;(x)为振幅函数.将式(2)代入方程(1),可得:1+a4-at+at2=2(4)-0t1,(3a)式中:为特征值,=m2L2/T(其中,T为平均索力,T=(T0+T1)/2=Fh/cos0);为高阶小量,2=EI/(TL2);t=x/L;(t)为(x)坐标变换后的函数;,和(4)为(t)对t的一阶、二阶和四阶导数.边界条件按两端固结考虑,可写为:(0)=(1)=(0)=(1)=0.(3b)由于是小量,位于高阶项的系数上,因此,正则摄动将产生边界层效应,所以用边界层型函数进行奇异摄动求解6.2 奇异摄动解法2.1 不考虑垂度影响 不考虑垂度影响时a=0,微分方程(3a)及其边界条件(3b)可简化为:2(4)-=,(4a)(0)=(1)=(0)=(1)=0.(4b)边值问题(4a)和(4b)可以转化为求特征值()和特征值函数(t,),其形式如下:()=j=0jj,(t,)=A(t,)+B(t,)exp(-t/)+C(t,)exp-(1-t)/=j=0aj(t)j+exp(-t/)j=0bj(t)j+exp-(1-t)/j=0cj(t)j,(5)653第3期冉志红等:斜拉索非线性振动的奇异摄动解法式中:j为迭代次数;A,B,C均为t和的函数;aj,bj和cj为对应函数的的第j阶系数.对A,B,C3项分别对t求偏导数并代入式(4a)和(4b),得2A(4)-A=A,3B(4)-42B+(5B-B)-2B=0,3C(4)+42C+(5C-C)+2C=0.(6)根据摄动的原则,此处应满足的各阶系数相等.于是,对于j0,微分方程(6)变为:aj+0aj=a(4)j-2-jl=1laj-l=-ja0(1-0j)+j-1,2bj=5bj-1-j-1l=0lbj-1-l-4bj-2+b(4)j-3=2j-1,2cj=-5cj-1+j-1l=0lcj-1-l-4cj-2-c(4)j-3=2j-1,(7)式中:,和均为递推的中间函数;0j为Kroneker符号.边界条件(4b)也可以写成:aj(0)=-bj(0)=aj-1(0)-b j-1(0),aj(1)=-cj(1)=aj-1(1)+cj-1(1).(8)式(7)和(8)中,具有负数下标的定义为零.当j=0时,式(7)和(8)变为:a0(t)+0a0(t)=0,b0(t)=0,c0(t)=0,a0(0)=-b0(0)=0,a0(1)=-c0(1)=0.显然,上述微分方程中,只有当 0=n22(n为频率阶数,n=1,2,)时,才存在a0(t)的非平凡解a0(t)=A0sinnt.为了确定A0,按10a0(t)aj(t)dt=0j的要求统一规范化,得A0=2.当j=l1时,已知i,ai(t),bi(t),ci(t),i(t),i(t)和i(t)(i=0,1,2,l),将式(7)中第1个等式两边同时乘以a0,可得(a0aj-a0aj)=ja20-a0j-1.(9)积分可得:j=aj(1)a0(1)-aj(0)a0(0)+10a0(t)j-1(t)dt.(10)aj(x),bj(x)和cj(x)可按下述微分方程组求得:aj+0aj=-ja0+j-1,bj=bj(0)+x0j-1(t)dt,cj=cj(1)+x1j-1(t)dt.(11)式(10)中aj(1)和aj(0)及式(11)的边界条件bj(0)和cj(1),均可按式(7)递推而得.按上述方法递推得到的特征值=n22+4n22+(n44+12n22)2+2.2 考虑垂度影响时特征值的修正 当j=0时,考虑垂度影响(计入a1),微分方程(4a)及边值条件(4b)变为:a0(t)+301+a4-at+at2a0(t)=0,(12a)b0(t)=0,c0(t)=0,a0(0)=-b0(0)=0,a0(1)=-c0(1)=0.(12b)式中,30为0的垂度修正.式(12a)和(12b)是典型的斯图姆 2 刘维尔问题,可以用多种方法求其特征值,本文中采用正交基函数求解.求解的基本过程:构造一组满足边界条件的正交基函数,利用正交性积分,可得一线性方程组,利用753西 南 交 通 大 学 学 报第41卷系数行列式等于零的性质即可求其特征值.假设满足边界条件的基函数i=sinit(i=1,2,N).在微分方程(12a)中令a0(t)=Ni=1cii,并将方程两边同时乘以k(k=1,2,N),积分并整理,得Ni=1(aik-30bik)ci=0,(13)式中:aik=10ikdt=0ik,12i22i=k;bik=101+a4-at+at2ikdt=a12(i-k)221+(-1)i-k-12(i+k)221+(-1)i+kik,121+112a-a2(i+k)221+(-1)i+ki=k.要使ci有非零解,方程组(13)的系数行列式的值应等于0,据此可以求出考虑垂度修正后的特征值30.其与n22的差就是修正量,即=30-n22.(14)显然,修正量 只与相对垂度 有关.计算结果表明,对于一般斜拉索,相对垂度小于0.1,垂度影响约为1%,可以忽略.但若相对垂度超过0.1,垂度的影响超过2%,实际工程中应予以重视.3 数值计算及讨论3.1 与有限元计算结果的比较 综上分析,可以得出考虑几何非线性后斜拉索的频率特征值的级数形式:=n22+(n,)+4n22+2n44+122n22.(15)将,的表达式代入式(15),可得斜拉索频率的计算显式:2n=Tn22mL2+(n,)TmL2+4n22mL3EIT+EIn44mL4+12EIn22mL4.(16)常见的两端铰接斜拉索频率的计算式为:2n=Tn22mL2+EIn44mL4.(17)比较式(16)和(17)可知:式(17)是式(16)的第1和第4项;式(16)中第2项是垂度修正,第3,5项是边界条件的修正.图2为用有限元法和本文方法计算的南京长江三桥1#和21#斜拉索的频率(斜拉索参数见表1).2种图2 斜拉索频率的误差分布Fig.2The frequency error of cables853第3期冉志红等:斜拉索非线性振动的奇异摄动解法方法计算的频率在20阶内的相对误差小于0.5%,可见,本文方法具有较高的计算精度.表1 斜拉索参数Tab.1Physical parameters of cables索号索长/m线密度/(kgm-1)拉索面积/m2拉索角度/()拉索惯性矩/m4索力/kN1#91.4442.650.004 8980.63.3710-61 08921#354.3674.120.008 5827.28.9810-63 165图3 相对影响系数与阶数的关系Fig.3Coefficientvs.frequency ordern3.2 支撑条件对频率的影响 为了分析支撑条件对频率的影响,去掉垂度修正项.根据式(16)和(17)可知,两端固结和两端铰接对频率的相对影响系数=1+4TL2/(EI)+12TL2/(EI)+n22-1.(18)由式(18)可知,相对影响系数与阶数n和参数=TL2/(EI)有关,见图3.从图3可见,当参数 较小时,低阶频率的误差急剧增大(对应于短索、小索力的情况).对于一般斜拉索(5104 5105),其影响在2%以内.4 结 论(1)奇异摄动解法是求解复杂微分方程的常用方法,对于工程实际问题,级数形式的解答完全能够满足工程精度要求,本文中导出斜拉索的频率和振型函数的解析式对工程实际具有重要意义.(2)数值计算结果表明,奇异摄动解法具有精度高、计算简便的特点,且各项的物理意义明确,因此,适合于用频率法对结构的边界条件、截面积、抗弯刚度等进行参数识别.(3)用频率法测试索力时,可根据导出的公式反求索力,从而可以避开传统的迭代计算,并且能够考虑边界条件和垂度(斜度的影响也可以按上述方法推导)等诸多因素,为结构监测(检测)提供更可靠的索力值.参考文献:1BENEDETI N I F,REGA G,ALAGGI O R.Non2linear oscillations of a four2degree2of2freedom modal of a suspended cableundermultiple internal resonance conditionsJ.Journal of Sound and Vibration,1995,23(182):7552798.2 蒋丽忠,赵跃宇,刘光栋.转动基中斜拉索的非线性动力学分析J.计算力学学报,2003,20(1):85289.J I ANG Lizhong,ZHAO Yueyu,L I U Guangdong.Nonlinear vibration of a flexible cable in rotation baseJ.Chinese Journalof ComputationalMechanics,2003,20(2):85289.3 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