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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,/10/10,解析几何,第2章 空间平面与直线,第1页,假如一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面,法线向量,法线向量特性：,垂直于平面内任历来量,已知,设平面上任一点为,必有,一、平面点法式方程,2.1.1,平面方程,第2页,平面点法式方程,平面上点都满足上方程，不在平面上点都不满足上方程，上方程称为平面方程，平面称为方程图形,其中法向量,已知点,第3页,解,取,所求平面方程为,化简得,第4页,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,第5页,例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段MN垂直平分面方程。,第6页,由平面点法式方程,平面普通方程,法向量,二、平面一般式方程,？,即 任一平面,表示,（,A,B,C,不一样时为零）,不妨设,，则,，为一平面,.,第7页,平面一般式方程几种特殊状况：,平面通过坐标原点；,平面经过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形,.,类似地可讨论 情形,.,平面普通方程,第8页,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,例,4,设平面过原点及点,),2,3,6,(,-,，且与平面,8,2,4,=,+,-,z,y,x,垂直，求此平面方程,.,第9页,例5 求通过点M(2,-1,1)与N(3,-2,1)，且平行于z轴平面方程,第10页,设平面为,将三点坐标代入得,解,例,6,设平面与,z,y,x,三轴分别交于,),0,0,(,a,P,、,),0,0,(,b,Q,、,),0,0,(,c,R,（其中,0,a,，,0,b,，,0,c,），,求此平面方程,.,第11页,将,代入所设方程得,平面截距式方程,第12页,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行充要条件）,解,例,7,求平行于平面,0,5,6,6,=,+,+,+,z,y,x,而与三个坐,标面所围成四面体体积为一个单位平面方程,.,第13页,化简得,令,代入体积式,所求平面方程为,或,第14页,/10/10,已知平面上一点和不共线两个向量,求通过该点与两向量平行平面,点位式/坐标式参数方程,点位式（或）,坐标式参数方程(2.1.2),第15页,/10/10,已知不共线三点,求通过三点平面,三点式方程(2.1.6),向量式法式方程(2.1.10),坐标式法式方程(2.1.11),以上共简介了多少种措施?,哪些措施合用于仿射坐标系?,哪些措施合用于直角坐标系?,第16页,练习1,1.通过点M(3,1,-1)和N(1,-1,0)且平行于矢量 -1,0,2平面.,2.通过点M(1,-5,1)和N(3,2,-2)且垂直于xOy坐标面平面.,3.已知四点(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4),D(4,0,6),求通过直线AB且平行于直线CD平面，并求通过直线AB且与三角形ABC所在平面垂直平面.,第17页,4.过点M(3,2,-4)且在x轴和y轴上截距分别为-2和-3平面,5.已知两点M1(3,-1,2)和M2(4,-2,-1)，通过M1且垂直于M1M2平面,6.已知平面上三点A(3,-1,2)B(4,-2,-1)C(3,2,-4)，求平面方程。,求通过直线 ，且在y轴与z轴上截距相等平面方程,第18页,定义,空间直线可当作两平面交线,空间直线一般方程,（注：两平面不平行）,一、空间直线一般方程,2.1.2,空间直线方程,第19页,方向向量定义：,假如一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线,方向向量,/,二、空间直线对称式方程,直线对称式方程,（原则方程、点向式方程）,第20页,第21页,因此,所求直线方程为,例,1,求过点,(1,0,-2),且与平面,3,x,+4,y,-,z,+6=0,平行,又与直线 垂直直线方程,.,解,:,设所求线方向向量为,已知平面法向量,已知直线方向向量,取,第22页,三、空间直线参数式方程,直线一组,方向数,令,方向向量余弦称为直线,方向余弦,.,直线参数方程,由,直线对称式方程,第23页,例2 用对称式方程及参数方程表达直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,第24页,因所求直线与两平面法向量都垂直,取,对称式方程,得参数方程,令,第25页,解,因此交点为,取,所求直线方程,例,3,一直线过点,),4,3,2,(,-,A,，且和,y,轴垂直,相,交，求其方程,.,.,第26页,/10/10,四、空间直线两点式方程,(2.1.15),另,直角坐标系下参数式和对称式,即直线,l,方向向量可取成单位向量,(,方向余弦,),第27页,/10/10,2.2.1 空间两平面有关位置,相交,平行,重叠,第28页,定义,直线和它在平面上投影直线夹角（所成,锐角,）称为直线与平面夹角,2.2.2 直线与平面有关位置,第29页,直线与平面夹角公式,直线与平面,位置关系：,/,第30页,解,为所求夹角,第31页,直线与平面交点,第32页,分析:关键是求得直线上此外,一种点 M1.M1在过M且平行,于 平面 P 一种平面P1上,待求直线又与已知直线相交,交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1交点.,例,2,求过点,M(-1,2,-3),且平行于平面,又与直线,相交直线方程,.,解 过M作平行于 平面 P 一种平P1,P,M,L,P,1,M,1,第33页,求平面,P,1,与已知直线,L,交点,P,1:,即,P,1,:,第34页,定理3.7.1 鉴定空间两直线,有关位置充要条件为：,异面,相交,平行,重叠,一、空间两直线有关位置,2.2.3 空间两直线有关位置,第35页,例,求经过点 且与两直线,都相交直线方程,.,解,：设直线方程为：,因此直线方程为：,第36页,定义,直线,直线,两直线方向向量,夹角或其补角,称之为该两直线夹角,.,两直线夹角公式,空间两直线夹角,第37页,两直线位置关系：,直线,直线,例如，,第38页,解,设所求直线方向向量为,根据题意知,取,所求直线方程,第39页,解,先作一过点,M,且与已知,直线垂直平面,再求已知直线与该平面交点,N,令,M,N,L,第40页,代入平面方程得,交点,取所求直线方向向量为,所求直线方程为,第41页,/10/10,2.3,平面束,共轴平面束,平行平面束,求平面方程另一种措施平面束法,第42页,/10/10,假如直线L用一般式方程表达,设 ，为不一样样时为零任意实数，则,就表达以L为轴平面束方程.,第43页,/10/10,第44页,/10/10,第45页,/10/10,第46页,L,d,P,1,是,L,外一点,设直线,L,求,P,0,到,L,距离,d,.,设 为,L,上任一点，如图,S,S,又,于是,点到直线距离公式,2.4.1 空间直线与点有关位置,第47页,例,10,求点,(5,4,2),到直线,距离,d,.,解,第48页,解,2.4.2 平面与点有关位置,第49页,第50页,点到平面距离公式,第51页,在第一种平面内任取一点，例如（0，0，1），,第52页,平面划分空间问题,空间上任何一点M对平面离差,例题 已知平面：x+2y-3z+4=0，点O(0,0,0),A(1,1,4),B(1,0,-2),C(2,0,2),D(0,0,4),E(1,3,0),F(-1,0,1)，试辨别上述各点哪些在平面某一侧，哪些在平面另一侧，哪些点在平面上。,第53页,练习2,已知四面体四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(-2,11,-5),C(1,-1,4).计算从顶点S向底面ABC所引高.,求中心在C(3,-5,-2)且与平面2x-y-3z+11=0相切球面方程。,求与如下两平面距离相等点轨迹,3x+6y-2z-7=0和4x-3y-5=0,第54页,定义,3.7.2,空间两直线上点之间最短距离，叫做这两条直线之间距离。,定义,3.7.3,与两条异面直线都垂直相交直线，叫做两异面直线公垂线，两个交点之间线段长叫做公垂线长。,定理,3.7.3,两异面直线间距离等于它们公垂线长。,两异面直线间距离与公垂线方程（直角坐标系）,2.4.3,两直线距离,第55页,定理,3.7.4,两异面直线,之间距离公式是：,几何意义：两条异面直线 之间距离等于以 为棱平行六面体体积除以以 为邻边平行四边形面积,.,第56页,两个异面直线公垂线方程为：,第57页,例,3,已知两直线 ，试证实两,直线 与 为异面直线，并求 与 间距离与它们公垂线方程,.,第58页,2.4.4,角度,两相交平面夹角,直线与平面夹角,两直线之间夹角,第59页,定义,（一般取锐角）,两平面法向量之间夹角称为两平面夹角,.,2.4.4,两平面夹角,第60页,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特性：,/,第61页,例1 研究如下各组里两平面位置关系：,解,两平面相交，夹角,第62页,两平面平行,两平面平行但不重叠,两平面平行,两平面重合,.,第63页,/10/10,小结,平面方程,直线方程,几何关系,位置关系,距离,角度,公垂线方程和长度,投影点,第64页,
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