第三章-表示力学量的算符-习题答案.doc

第三章 量子力学中的力学量
1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）
[证] 由厄米算符的定义

厄米算符的平均值

即厄米算符的平均值都是实数
2. 判断下列等式是否正确
（1）
（2）
（3）
[解]：（1）（2）正确 （3）错误
因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设归一化，是的本征函数，且
（1）试推导表示式
（2）求征力学量F的态平均值
（3）说明的物理意义。
[解]：（1）给左乘再对积分

因是的本函，所以具有正交归一性

（2）是的本征函数，设其本征值为 则

即
（3）的物理意义；表示体系处在态，在该态中测量力学量F，得到本征值的
几率为。
4. 一维谐振子处于基态y0（x）态，求该态中
（1） 势能的平均值
（2） 动能的平均值
（3） 动量的几率分布。
解：(1) 

（）
(2)

或
(3)

动量几率分布函数为

5. 氢原子处于 态，求
（1） r的平均值。
（2） －e2/r的平均值
（3） 最可几半径.
（4） 动能平均值.
解：(1)
（ ）

(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为

令
当为几率最小位置

∴ 是最可几半径。
(4)

6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为
，
证：电子的电流密度为

在球极坐标中为

式中为单位矢量

中的和部分是实数。
∴
可见，

7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成
(1) 求一圆周电流的磁矩
(2) 求证氢原子磁矩为
解：(1) 一圆周电流的磁矩为
（为圆周电流，为圆周所围面积）

(2)氢原子的磁矩为

原子磁矩与角动量之比为

8. 求一维无限势阱中粒子动量与位置的测不准关系

[解]设宽为a的一维无限势阱的波函数为

9. 证明氢原子中电子与是守恒量
[证明]氢原子的哈密顿算符
因与是相互对易的 且与也是对易的。

，，与t无在，只与有关。

又 与也是对易的，且

氢原子中电子和是守恒量。
（判断守恒量的条件：与t无关，且与哈密顿算符对易）
10. 设线性谐振子处于描述状态，则在该态中，能量可能取哪些值？几率各是多少？能量的平均值是多少？
[解]线性谐振子能级 ，而是振子的两个本征态。
所以能量可能取
因
所以未归一化的波函数，则几率求法应为
对应几率
对应几率

平均值（即第11题）
方法I
由平均值公式

方法Ⅱ
（未归一化）

由正交归一性可得

12. 设粒子处于态，求该态中平均值。
[解] 是的本征函数

同理

13. 一刚性转子的转动惯量为I,它的能量经典表达式是H=L2/2I,这儿L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。
（1） 转子绕一固定轴转动。
（2） 转子绕一点转动。
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有

哈米顿算符
其本征方程为 (无关，属定态问题)

令 ，则

取其解为 (可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有

即
∴m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…)
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为

A为归一化常数，由归一化条件

∴ 转子的归一化波函数为

综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。

(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为

无关，属定态问题，其本征方程为

(式中设为的本征函数，为其本征值)

令 ，则有

此即为角动量的本征方程，其本征值为

其波函数为球谐函数
∴ 转子的定态能量为

可见，能量是分立的，且是重简并的。
14． 若都是厄米算符，，问
（1）是否是厄米算符
（2）是否是厄米算符

不是厄米算符
其中为两任意函数
（2）同样为两任意函数

是厄米算符
判断是否是厄米算符可用厄米算符定义
来判断
15．设，证明是厄米算符，其中均是厄米算符。
[证明]

是厄米算符。
16. t＝0时，粒子处于态

求此时粒子平均能量和平均动能。
解：

可见，动量的可能值为
动能的可能值为
对应的几率应为

上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

∴
∴ 动量的平均值为

17. 证明若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数
[证明]设 为两任意算符，且[]=0
设的本函为，本征值为，只需证也是的本征函数即可。
因= 给上式右乘
=
=
==
是算符本征值为的本征函数，由F是非简并的分立谱与应是同一状态，它们之间互多差一常数。
即= （是任意常数）
也是的本征函数
[]=0 有共同的本征函数。
逆命题：若两算符有组成完全系的共同本函，则这两算符对易。
证：设的共同本函为……，本征值为……
=
设为任一量子态，则
[]=-=-
=-
=-
=0
[]=0 （）
18. 下列算符哪些是厄米算符

[解]： ，是厄米算符
不是厄米算符
是厄米算符
也是厄米算符
是厄米算符
也是应厄米算符
我们在前边第14题已证明是厄米算符，且则[]不是厄米算符。
且却是厄米算符
不是厄米算符，即不是厄米算符
同样：也不是厄米算符，即不是厄米算符。
19. 设氢原子处于

求氢原子能量、角动量平方及z分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值

角动量平方有确定值为

角动量Z分量的可能值为

其相应的几率分别为
，
其平均值为

20. 证明自由粒子能级是简并的
证明：动量算符 其本征函数
自由粒子的哈密算符
显然[]=0 因此它们肯定有共同本函 即
本征值求法如下：

所以能量
对应和对应两个状态，
但能量
所以自由粒子能级是二度简并。
21. 求的本征方程
[解] 设的本征函数为

两边积分

（C为归一化常数）
由归一化条件

本征方程为

其中
22. 求解自由一维粒子的能量本征方程
[解]自由粒子的哈密顿算符为

设其本征函数为 则

令 则

此微分方程的特解为：

k可取一切实数值均为全空间的连续有限函数，所以能量E的取值可以连续变化，能谱是连续的，定态波函数可以表示为：

由归一化条件

又

即：
所以
即
本征方程为

其中
推广到三维（x,y,z）运动，动量本征函数取为：

23. 一维运动粒子的状态是
其中l>0，求
（1） 粒子动量的几率分布。
（2） 粒子平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由

∴

动量几率分布函数为

(2)

24. 证明
[证明] （1）

与无关

（3）

25. 设体系处于态中，求
（1）力学量的可能值与平均值。
（2）的可能值与平均值。
[解] （1）角动量z分量的本征方程

让作用于

由此可看出不是的本征函数，是的本征函数的线性迭加，可能取的值为平均值

（2）角动量平方的本征方程
让作用于

由此可看出 是的本征函数，出现的可能值，几率为1，所以平均值为。
26. 试求角动量平方算符，当本函为本征值
[解] 角动量平方算符的本征方程 是本征值
在球坐标下
让作用于

是的本征函数， 且本征值为A=2
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