竞赛练习1.doc

1、如图所示，一个身高为h的人在灯以速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。
设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程
△t（△t→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端
C点到达C′点，由于△XAA′=v△t则人影顶端的
移动速度
可见vc与所取时间△t的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。（本题也可用相似三角形的知识解）。

2、质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v0，加速度为a，如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度。
解析 从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解.
因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为

由匀变速运动的导出公式得 解得
3、小球从高h0 = 180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小（n = 2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。（g取10m/s2）
解析：小球从h0高处落地时，速率v0 == 60m/s
第一次跳起时和又落地时的速率v1 =
第二次跳起时和又落地时的速率v2 =
……
第m次跳起时和又落地时的速率vm =
每次跳起的高度依次为h1 ==，h2 ==，……，
通过的总路程Σs = h0 + 2h1 + 2h2 + … + 2hm + …
= h0 +(1 +++ … ++ …)
= h0 += h0=h0 = 300m
经过的总时间为Σt = t0 + t1 + t2 + … + tm + …
=++ … ++ …
=［1 + 2+ … + 2()m + …］
===18s

4、物体A在地面上足够高的空中以速度v1平抛，与此同时，物体B在A正下方距离h处以速度v2竖直上抛，不计空气阻力，则二者在空中运动时的最近距离为
A． B．
C． D．
答：D
【解析】：由于二者加速度相同，则二者相对匀速。以A为参考系，则B相对A匀速运动的速度为，方向如图, 二者间的最近距离即为图中AC。
h
v2
B
A
v1
h
B
v2
v1
A
C

5、两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做同绕向的匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的高度等于，卫星离地面高度为，则：
（1）、两卫星运行周期之比是多少？
（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则至少经过多少个周期与相距最远？
 【解析】：（1）对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式

　　可得：
　　所以
　　（2）由可知：，即转动得更快。则a相对b的角速度大小为

　　设经过时间两卫星相距最远，则由图可得：
　　      （、2、3……）
　　其中时对应的时间最短。
　　所以，得

【点评】：圆周运动中的追及和相遇问题也可“利用相对（角）位移关系列方程”。当然，如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系，运算过程更简洁，但不如利用相对角位移关系容易理解，而且可以和直线运动中同类问题的解法统一起来，记忆比较方便。

6、如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．

图5-8
分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得

图5-9
ｖ1＝(/２)ｖＡ1；
ｖ2＝(/２)ｖＡ2，
于是可得
由几何关系可知
ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，
则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６)ｖ，
由此求得ｖB2＝(/６)ｖ．

图5-10
上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得
而由矢量图可知
ｖn1＝(/２)（ｖA2－ｖA1），
代入前式可得ｖB2＝(/６)ｖ．
两解殊途同归．
7、两个质量均为m的小球，用细绳连接起来，置于光滑平面上，绳恰好被拉直。用一个恒力F作用在连绳中点，F的方向水平且垂直于绳的初始位置（图3-5-4），F力拉动原来处于静止状态的小球。问：在两小球第一次相撞前的一瞬间，小球在垂直于F的作用线方向（设为y方向）上的分速度多大？
由于绳的张力和方向都在不断改变，因此两小球的运动是比较复杂的，我们应用两种手段使复杂的问题简化。
一是先研究小球在某一方向即F作用的线方向（设为x方向）上的运动：当绳与作用线成角时绳上的张力，这个张力使小球产生的在x方向上的加速度为

可见，无关，即小球在x方向上做匀加速运动（图3-5-5）
F
T

图3-5-5

F
m
m
x
y

图3-5-4

二是只考虑小球运动的初、末两个状态：设F的作用点共移动了s距离，则小球在x方向上运动了的距离，小球碰撞前在x方向上的速度为

在这段过程中，F力做的功为，根据动能定理

8、如图3—6所示，质点A沿半圆弧槽B由静止开始下滑，已知B的质量为M，质点的质量为m，槽的半径为R且光滑，而槽与地面的接触面也是光滑的，试求质点A下滑到任意位置θ角时B对A的作用力．

分析和解：由于槽与地面的接触面是光滑的，质点A沿半圆弧槽B下滑时槽B必然后退，如果要求的是状态量，可以考虑动量和能量的观点来解题，但如果要求的是瞬时量，则常规的解题方法会有很大的困难，利用了参考系的变换，在以B为参考系时注意引入惯性力．是解决这类问题的基本方法。
设M的加速度向左，大小为，有 ①
对m以B为参考系，其相对B的速度为u，且必定与圆弧相切． ②
根据动量与能量守恒，并设M的速度为，同时注意m的速度u应转换为对地速度． ③(水平方向动量守恒） ④
由以上①②③④式可解得