《探索勾股定理》第一课时.doc

学校
锦州市第十三中学
教者
金鑫
课题
1.1探索勾股定理
课型
新授课
教
学
目
标
知识技能
用割补拼的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.
数学思考
在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.
解决问题
进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.
情感态度
1.通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.
2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神.
重点
探索和应用勾股定理
难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理
问题与情境
教师活动
学生活动
设计意图
活动1创设情境
同学们请你们思考，如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你知道它的斜边长是多少吗？已知直角三角形的两条边长，你能求出第三条边长吗？实际上利用勾股定理我们可以很容易解决这个问题。勾股定理是一个古老的定理，是起源于2000年前的重要定理，同学们你们准备好了吗？本章我们将要了解勾股定理的起源，了解勾股定理的发展，掌握勾股定理的内容，用勾股定理计算，用勾股定理作图，用勾股定理证明，在生活中广泛运用，在其他学科广泛运用，你能学到的不仅这些，更多有关勾股定理的知识等待你的发现，拿出你们的热情，我们一起走进勾股定理的世界！2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标，会标中央的图案是赵爽弦图，它与勾股定理有关，数学家曾建议用勾股定理的图来作为与外星人联系的信号。

教师利用多媒体提出问题，引导将此问题抽象出数学问题，进而点出问题实质：在直角三角形中，已知两条边的长度，能否求出第三条边的长度呢？即直角三角形的三条边是否存在某种关系呢？

学生观察图形，在教师的指导下，思考解决问题的实质及方法。

培养学生从身边的事物抽象出数学问题的能力,使学生更加深刻地认识数学的本质:数学来源于生活,并能服务于生活,人人都学有价值的数学,同时激发了学生的学习热情和探究的欲望.
活动2发现新知
探究活动一
相传两千五百年前，数学家毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系。同学们我们来一次时空穿越，假如你就是毕达哥拉斯请你仔细观察下面的图案，看看你能发现什么？

问题与情境

教师讲述故事、展示图片.

引导学生分析情景、提出问题：你是怎样观察这个
砖铺的现场的？

教师活动

学生听故事

学生观察地砖铺成的地面，说说自己的发现

学生活动

通过讲传说故事来激发学生学习兴趣，引导学生进入学习状态.

问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望.

设计意图
你能看出图中涂色部分的三个正方形的面积有什么关系吗？

① ②
引导：丰富的图案都是由等腰直角三角形色块作为基本单元构成，以等腰直角三角形的三边为边长建立正方形，它们的面积有怎样的关系呢？你能否将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三条边之间的关系呢？
总结：等腰三角形的两条直角边的平方的和等于斜边的平方。
学生观察阴影部分的正方形的面积，发现它们之间的关系并表达、交流自己的发现，进而得出等腰直角三角形的三边关系。
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
使学生初步感受等腰直角三角形的三边关系
活动3 深入探究
探究活动二
1等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？探究活动二：观察右边的两幅图，每个小正方形的面积为单位1，请分别求A的面积，B的面积，C的面积。

A的面积
B的面积
C的面积
左图

右图

谁能和大家分享一下你是怎样求出正方形C的面积的呢？

分析表中数据，你发现了什么？

SA
SB
SC
左图
4
9
13
右图
16
9
25

议一议

（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？　
（2）你发现直角三角形三边长度之间存在什么样的恒等关系吗？
（3）分别以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？

2. 想一想
对于钝角三角形和锐角三角形
的三边是否也有这种特殊的关系呢？

教师参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积，进而得出一般的直角三角形的三边关系。
归纳总结，共有以下三种方法：方法一：割:分割为四个直角三角形和一个小正方形；方法二:补：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积；方法三：拼：将几个小块拼成一个正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形。

教师展示图片，引导探究钝角三角形和锐角三角形的三边是否也具有某种特殊的关系。

观察图形，分组交流。探究各图中的三个正方形的面积之间的关系，进而探究一般的直角三角形的三边关系

结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.

渗透从特殊到一般的数学思想，培养学生的类比、迁移能力及探索问题的能力.

通过类比钝角三角形、锐角三角形，进一步加深对直角三角形的三边关系的认识,同时掌握了探究数学问题的方法.
C
活动4  归纳总结
结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：在Rt△ABC中，
B
.
A

C

数学小史
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史,在西方,勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理,但在中国,这个定理的叙述比西方早600多年.

教师引导学生总结出在探究过程中所发现的结论，并规范勾股定理的符号语言。

教师介绍勾股定理是的史实

学生总结探究结论.

学生倾听

总结结论，规范符号语言，体现数学的简洁美，体现数学的抽象思维和逻辑思维,数学的严谨、缜密，利用培养学生严谨求实的作风.

通过对勾股定理的历史的了解,增强学生的民族自豪感.
问题与情境
教师活动
学生活动
设计意图
活动5 应用新知
1如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10 m处折断倒下，树顶落在离树根24 m处. 大树在折断之前高多少米？

2. 巩固练习：
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：

明确：已知直角三角形两边，可求第三边。

3. 再接再厉：你能独立完成下面的问题，写出规范的解题格式吗？请同学们到前面来板演。
（1）.从电线杆离地面8m处向地面拉一条绳索，如果这条绳索在地面的固定点距离电线杆底部6m,那么需要多长的绳索？
（2）.一个等腰三角形的腰长为5cm,底边为6cm,求这个等腰三角形的面积?

教师引导将图形抽象出数学图形,规范解题步骤.

教师点评学生的书写过程,规范解题步骤.

学生点评书写过程,规范解题步骤.

学生口答

学生试着说解题过程

此题教师板演

此题学生板演

巩固所学知识

运用所学知识解决上课初提出的问题,体现学以致用.

规范解题格式,培养学生的做事严谨认真的态度.
活动6 知识小结
这节课，我们探索了勾股定理，并应用勾股定理进行解决生活中的实际问题，通过本节课的学习，你有哪些收获呢？请同学们收获和体会。
（1）．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
（2）．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流.

活动7课堂小测验

基础训练：

1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5 m的木梯，准备把拉花挂到2.4 m的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 　m．
2．如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则 A，B两点间的距离为（ ）m.
提高训练：
3．一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端滑动　　　m．
4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是　　　　cm2
小结:
1.毕达哥拉斯从地砖中发现了直角三角形的三边关系,可谓是看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理,从中我们也应该学习学会思考、学会发现,思考是学好数学的最重要方法。
2.中国是最早发现勾股定理的国家。在4000多年前大禹曾在治水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。可见，我国古代的人民是多么聪明，对于当代的我们是否更应该努力学好数学，为建设祖国来贡献一份力呢!

教师对学生的小结进行补充、总结。

知识：
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么

方法：
1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
2. “割、补、拼”法.
思想：
1. 特殊—一般—特殊；
2. 数形结合思想.

关注：不同层次的学生对知识的理解程度；学生是否从不同方面谈感受。

学生交流体会

通过学生的交流，梳理本节课的学习内容.

通过教师的总结,渗透学习数学的方法

巩固所学知识

进一步体会勾股定理深厚的历史文化价值, 以优秀前辈为榜样，激发学生的学习热情,弘扬爱国主义精神.
活动7 布置作业
收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流。

课下根据自己的情况选择完成

学生课后完成

给学生留有继续学习的空间和兴趣.
板书设计:
探索勾股定理
B
一、探究: 二、勾股定理: 在Rt△ABC中， 三、例题：
A的面积+B的面积=C的面积
C
A
↓ ↓ ↓
a2 b2 c2
a2 + b2 = c2

《探索勾股定理》教学案例
锦州市第十三中学　金鑫
师:上课！同学们好！请坐！首先进行课前三分钟竞赛，并回顾上学期所学的关于三角形的知识。同学们大多完成得非常好，但有些同学对以往知识点掌握略有欠缺，希望继续努力。同学们请你们思考，如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，你知道它的斜边长是多少吗？已知直角三角形的两条边长，你能求出第三条边长吗？实际上利用勾股定理我们可以很容易解决这个问题。[我以生活中的实际问题作为引例，利用多媒体创设教学情境，这部分是一节课的开始，是整节课的关键，所以这部分应注重激发学生的学习兴趣，激发学生探究问题及解决问题的欲望.]
师:勾股定理是一个古老的定理，是起源于2000年前的重要定理，同学们你们准备好了吗？本章我们将要了解勾股定理的起源，了解勾股定理的发展，掌握勾股定理的内容，用勾股定理计算，用勾股定理作图，用勾股定理证明，在生活中广泛运用，在其他学科广泛运用，你能学到的不仅这些，更多有关勾股定理的知识等待你的发现，拿出你们的热情，我们一起走进勾股定理的世界！（板书:探索勾股定理）
[由生活中的实际问题激发兴趣,培养学生乐于探索问题的精神,利用多媒体展示课件同时引导学生将实际问题抽象出数学问题,用数学的思维来解决问题,体现数学的价值,感受数学来源于生活服务于生活,激发本节课的学习欲望,为探究勾股定理做好铺垫.]

2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标，会标中央的图案是赵爽弦图，它与勾股定理有关，数学家曾建议用勾股定理的图来作为与外星人联系的信号。
相传两千五百年前，数学家毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系。同学们我们来一次时空穿越，假如你就是毕达哥拉斯请你仔细观察下面的图案，看看你能发现什么？
[由故事抛出问题,通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望. ]
探究活动一：直角三角形是最基本的图形,观察图中阴影部分的正方形，你发现图中三个正方形面积之间存在什么关系吗？

① ②

生:各图中的两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积,即A的面积+B的面积=C的面积.
师:你能将三个正方形面积的关系转化为等腰直角三角形三条边之间的关系吗?
师:说得很对，我们来看结论1：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
师: 等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？探究活动二：观察右边的两幅图，每个小正方形的面积为单位1，请分别求A的面积，B的面积，C的面积。[渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间和空间,发挥学生的主体作用;培养学生的类比、迁移能力及探索问题的能力,使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.]

A的面积
B的面积
C的面积
左图

右图

师:同学们给出的答案十分准确，那么谁能和大家分享一下你是怎样求出正方形C的面积的呢？
生:思考问题，发表见解
师:同学们真是聪明，方法也十分巧妙，老师把你们的发言归纳总结一下，共有以下三种方法：方法一：割:分割为四个直角三角形和一个小正方形；方法二:补：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积；方法三：拼：将几个小块拼成一个正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形。我们回到刚才的表格中，分析一下数据，你发现了什么？
师:说得很对SA+SB=SC，从而得到我们探究的结论2：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
师:议一议：你能用直角三角形的两条直角边的长a,b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
生：SA=a2,SB=b2,SC=C2
师：你发现直角三角形三边长度之间存在什么样的恒等关系吗？
生：因为SA+SB=SC，SA=a2,SB=b2,SC=C2，所以
师：下面我们再用测量计算的方法验证一下这个规律对于其他的直角三角形是否仍然成立，分别以5cm,12cm为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边长度。通过测量计算我们发现，a2+b2=c2的结论对于这个三角形仍然成立。
生:思考问题，发表见解
师：在直角三角形中，如果两条直角边分别为a,b，斜边为c,则有a2+b2=c2，那么对于钝角三角形和锐角三角形的三边是否也具有这种特殊的关系呢？[通过类比钝角三角形、锐角三角形，进一步加深对直角三角形的三边关系的认识,同时利于掌握探究数学问题的方法.]

生：分组交流，发表看法.
师：上图中的两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积吗？
生：不等于．
师:那么钝角三角形和锐角三角形的三边具有两条短边的平方和等于长边的平方？
生:不具有．
师：由此你能得出什么结论呢？
生：只有直角三角形的三条边具有两条直角边的平方和等于斜边的平方这一特殊关系.
[这里,教师要特别强调直角三角形的三边所具有的特殊关系,加深学生的理解.]
师：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这一结论被称为是勾股定理，你能用数学符号来表示勾股定理吗？
[师生给出勾股定理的符号语言，通过不同方式的呈现让学生感受数学的简洁美]
生：（理解勾股定理的符号语言）
师：为什么把这一结论称为勾股定理呢？在古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为＂勾＂，把较长的直角边称为＂股＂，斜边称为＂弦＂，因此把这一结论称为勾股定理．人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史,在西方,勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理,但在中国,这个定理的叙述比西方早600多年．[通过对勾股定理的历史的了解,感受勾股定理深厚的人文价值，增强学生的民族自豪感.]

师：既然我们探索出了勾股定理，我们就要学以致用，你能用勾股定理解决实际问题吗？请看例题。讲解教师板书。
例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10 m处折断倒下，树顶落在离树根24 m处. 大树在折断之前高多少米？

生：回答问题．教师总结并板书。
[初步体会运用本节课的结论及勾股定理进行计算．]
师：由勾股定理可知，在直角三角形中只要知道两条边的长度就可求出第三条边的长度．那么你现在能解决老师提出的问题吗？
巩固练习：
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：

生：学生口述解题方法．
[学生口述方法，教师点评并板书规范的解题格式，培养学生严谨和认真的学习态度和做事态度，同时应用本节课探究的结论来解决课初提出的问题，让学生体会学以致，通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，又能服务于生活．]
师：再接再厉：你能独立完成下面的问题，写出规范的解题格式吗？请同学们到前面来板演。
（1）.从电线杆离地面8m处向地面拉一条绳索，如果这条绳索在地面的固定点距离电线杆底部6m,那么需要多长的绳索？
（2）.一个等腰三角形的腰长为5cm,底边为6cm,求这个等腰三角形的面积?

[学生板演，师生共同点评，规范解题步骤，同时应用勾股定理解题，巩固所学知识]
师：这节课，我们探索了勾股定理，并应用勾股定理进行解决生活中的实际问题，通过本节课的学习，你有哪些收获呢？请同学们收获和体会。
生：（学生交流收获和体会）
下面我们来进行课堂小测验，用成绩来检验这节课的收获。
师：毕达哥拉斯从地砖中发现了直角三角形的三边关系,可谓是看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理,从中我们也应该学习学会思考、学会发现,思考是学好数学的最重要方法；中国是最早发现勾股定理的国家。在4000多年前大禹曾在治水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。可见，我国古代的人民是多么聪明，对于当代的我们是否更应该努力学好科学文化知识，为建设祖国贡献一份力呢!
[渗透学好数学的方法，同时进一步体会勾股定理深厚的历史文化价值, 以优秀前辈为榜样，激发学生的学习热情,弘扬爱国主义精神. ]
师：毕达哥拉斯从地砖中发现了直角三角形的三边关系,可谓是看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理,从中我们也应该学习学会思考、学会发现,思考是学好数学的最重要方法；中国是最早发现勾股定理的国家。在4000多年前大禹曾在治水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。可见，我国古代的人民是多么聪明，对于当代的我们更应该努力学好科学文化知识，为建设祖国贡献一份力量!
课后反思：
数学作为基础学科性学科，是学校实施素质教育的重要课程之一，而素质教育的一个重要任务就是培
养学生良好的思想道德品质。在数学课中，教师如何紧扣教材，经常地、有意识寓德育于传授知识之中，充分发挥教材中的德育功能是非常重要的.为了成功有效地上好这节数学德育课,课前我认真学习数学课程标准及上网学习勾股定理的相关史实,挖掘本节课的德育渗透点：
1.注重导课.以生活中的实际问题作为引例, 激发学习兴趣,培养学生乐于探索问题的精神；引导学生将实际问题抽象出数学问题,用数学的思维来解决问题,体现数学的价值,同时为探究勾股定理做好铺垫.
２.渗透探究问题的方法．由毕达哥拉斯的发现引出问题，激发探究的欲望，进而展开问题的探究，先探究等腰直角三角形的三边关系，再探究一般的直角三角形的三边关系，渗透了从特殊到一般的思想方法，最后探究钝角三角形和锐角三角形的三边关系，渗透了类比的思想方法．在整个过程中，使学生在不知不觉中体会一种探究问题的方法，这种方法将有助于学生今后的数学学习．
３.启迪悟性．教师列举出勾股定理在现实生活中的应用，培养学生运用勾股定理的意识，同时，使学生进一步理解勾股定理，培养学生通过实践总结规律的能力，提升学生的情感、态度、价值观。
４.情感教育．讲述勾股定理的史实，感受勾股定理深厚的历史人文价值，增强民族自豪感，同时领悟勾股定理来源于实践，反过来又作用于实践的辨证原理．
在整节课中，将德育渗透与知识传授紧密结合，努力使德育渗透做到润物无声．当然，也存在着一些不足，这些不足将成为我今后努力的方向．