二项式定理及应用（教师）.doc

二项式定理及应用
题型一：二项式定理的逆用；
例：
解：与已知的有一些差距，

练：
解：设，则
题型二：利用通项公式求的系数；
例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？
解：由条件知，即，，解得，由
，由题意，
则含有的项是第项,系数为。
练：求展开式中的系数？
解：，令,则
故的系数为。

题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：若的二项展开式中第项为常数项，则
解：，令，得.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式展开式中的有理项？
解：，令,()得，
所以当时，，， 当时，，。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若展开式中偶数项系数和为，求.
解：设展开式中各项系数依次设为
,则有①，,则有②
将①-②得： 依题意得，，。
练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。
解：，，解得
所以中间两个项分别为，，
题型六：最大系数，最大项；
例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。
练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。
练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于
练：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。
练：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？
解：由解出,假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有
练：在的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为
题型七：含有三项变两项；
例：求当的展开式中的一次项的系数？
解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为
它的系数为。
解法②：
故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.
练：求式子的常数项？
解：，设第项为常数项，则，得,, .
题型八：两个二项式相乘；
例：
解：

.
练：
解：

.
练：
解：

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
解：

题型十：赋值法；
例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若
,则等于多少？
解：若，有，，
令得，又,即解得，.
练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？
解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.
练：
解：

练：
解：

题型十一：整除性；
例：证明：能被64整除
证：

由于各项均能被64整除

练习

1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是
设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是
2、 4n
3、的展开式中的有理项是展开式的第 项 3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是

(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35

5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项作积，故x4的系数是
6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
=，原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为
7、若展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？
由条件得m+n=21，x2的项为，则因n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小
8、自然数n为偶数时，求证：

原式=
9、求被9除的余数
,
∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余8
10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数

在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，此展开式中x的系数为240
11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项
设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有

∴展开式中系数最大项为第5项，T5=