第09章 习题解.doc

第9章 真空中的静电场9.1 两个电量都是的点电荷分别固定在真空中两点，相距。在它们连线的中垂线上放一个电量为的点电荷，到连线中点的距离为。求所受的静电力，并讨论在连线的中垂线上哪一点受力最大？若在的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动？分别就与同号和异号两种情况进行讨论。 解： 方向沿两点电荷连线垂直线远离它们方向。 令 在为正电荷时，在中垂线某位置由静止释放时，将沿中垂线远离，作变加速速直线运动；若为负电荷，以AB连线的中点为平衡位置作振动；若释放点为AB连线中点，静止释放时，无论为正、负电荷均因受力为0而不运动。9.2 在正方形的顶点上各放一个点电荷。（1）证明放在正方形中心的任意点电荷受力为零。（2）若在正方形中心放一个点电荷，使得顶点上每个点电荷受到的合力恰好为零，求与的关系。 解：设正方形边长为，正方形上各点电荷对中心放置的点电荷的作用力大小均为： 所受到的四个力大小相等且对称，两相对顶点上的点电荷为一对平衡力，即受力为0。 设正方形四个顶点上放置的点电荷为正电荷，由于对称性，则可选一个顶点处理，其它点电荷对其的作用力大小为： 各力的方向如图所示，要满足题意，中心点电荷应为负电荷。要使顶点上的点电荷所受合力为0，则 将各量代入 即 9.3卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到时，它们之间的排斥力仍然遵从库仑定律。金原子核中有个质子，氦原子核（即粒子）中有个质子。已知质子带电量为，粒子质量为.当粒子与金原子核相距时（设这时它们仍然可以看成点电荷），求粒子所受的力及其加速度的大小。 解：金原子核带电量为：，氦原子核带电量为： 氦原子核受的力和加速度分别为： 9.4 有一个电偶矩为的电偶极子，求在轴线延长线上任一点的电场强度。已知点到电偶极子中心的距离为，并且。 解：电矩为的电偶极子，由两个带等量异号的点电荷组成。0A 由于， 即 9.5一根不导电的细塑料棒弯成一个留有缝隙的圆，圆的半径为,缝隙宽, 塑料棒均匀带电。求圆心处电场强度的大小和方向。 解：对于一无缝隙的均匀带电圆，由于带电体具有对称性，由场叠加原理可分析得圆心处的场强为0本题弯成圆有缝隙，缝隙之处可以视为同时带等量的正电荷和负电荷。则可得圆心处的场强即为缝隙负电荷产生的场强。 缝隙负电荷为圆心处的电场强度大小为： oAB(a)ABo(b)9.6 将电荷线密度为的无限长均匀带电线分别弯成图中（a）(b)两种形状，设圆弧半径为，求两图中点的电场强度。解：由场的叠加原理，本题问题的求解，可将带电线分段求出各自在考察点处的场强，再叠加求得。利用教材例9.3的结果，有： 0 0 对于一半无限长的带电线，在其-端垂直距离处产生的电场强度为：即，则有 可见，的大小相等，即的方向与轴成，大小为： 对于弧形带电线产生的场： 如图所示，取弧元，所带电量为：，其在圆心处的场强为： 则有 方向沿 （a）带电线可视为三段组成，O点处的场为三部分在该处产生的场的叠加。如图所示，则有： 方向沿对称方向。（b）带电线可视为四段组成，O点处的场为四部分在该处产生的场的叠加。如图所示：oAB450450450ABo 由于，四部分带电线产生的场有对称性，则有 9.7 求半径为、带电量为的均匀带电球体内外的场强分布。 解：带电体为均匀带电球内，其所激发的场具有球对称性。利用高斯定理，取同心球面为高斯面当时，即球内 当时，即球外 9.8 求半径为、面电荷密度为的无限长均匀带电圆柱面内外的场强分布。 解：无限长均匀带电圆柱面产生的场具有柱面对称性，利用高斯定理，取同轴圆柱面为高斯面，所取高斯圆柱面的半径为，高度为 当时，带电圆柱面内 当时，带电圆柱面外 9.9 半径分别为和（）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电，沿轴线单位长度的电荷分别为。（1）求空间各区域的场强分布。（2）若，情况如何？ 解：两个无限长共轴圆柱面带电体所激发的场具有柱对称性，利用高斯定理，取同轴圆柱面为高斯面，所取高斯圆柱面的半径为，高度为 当时： 当时： 当时： 若，则有 9.10 1903年，英国物理学家汤姆孙根据实验，提出了汤姆孙原子模型：原子的正电荷均匀分布在半径约为的球体内，电子则在正电荷球内运动。1911年，汤姆孙的学生卢瑟福根据粒子散射实验的结果，提出了原子的核式结构模型：原子的正电荷集中在很小（约m）的范围内，电子则在核外运动。在原子范围内，这两种原子模型产生的电场强度是不同的。以金原子为例，它的正电荷量为，它的原子核半径为m。（1）按照卢瑟福的原子模型，求金原子核在核的表面上产生的电场强度的大小。（2）按照汤姆孙的原子模型，金原子的正电荷所能产生的电场强度的值最大为多少?(3)根据上面的计算，在粒子散射实验中，当粒子（带电量为）射向原子时，它所受的最大静电力各为多少？ 解：由高斯定理，取球面高斯面，球面半径略大于核半径，则有 金原子核表面上场强大小为： 由习题9.7的结果 可见，时，场强最大，即 卢瑟福原子模型下，粒子所受最大静电力为： 汤姆孙原子模型下，粒子所受最大静电力为： 9.11 半径分别为和（）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电，沿轴线单位长度的电荷分别为。分别把电势参考点选在无限远处和轴线上，求：（1）离轴线为处的电势。（2）两筒间的电势差。 解：根据9.9题的结果,有 电势参考点选在无限远处时, 时, 时, 时, 即 电势参考点选在轴线处时: 时, 时, 时, 即 电势参考点选在无限远处时,内外圆柱面之间的电势差为: 电势参考点选在轴线处时,内外圆柱面之间的电势差为: ABODC9.12 如图所示，是以为圆心、为半径的半圆。点有正电荷，点有负电荷。（1）将单位正点电荷从点沿移动到点，电场力做了多少功？（2）将单位负点电荷从点沿的延长线移动到无穷远处，电场力做了多少功？ 解：选取无限远处为0势参考点，根据点电荷产生的电势以及势的叠加原理，可求得： 将单位正点电荷从点沿移动到点，电场力做功为： 将单位负点电荷从点沿的延长线移动到无穷远处，电场力做功为： 9.13 半径为的均匀带电圆盘，电荷面密度为。利用例9.13的结果，计算轴线上的电势分布。并由电势求轴线上的电场分布。 解：由例9.13的结果，半径为的均匀带电圆环在其轴线上产生的电势为：将带电圆盘分割为若干圆环，半径为，宽为圆环带电量为： 运用以上结果，其在轴线上产生的势为： 整个带电圆盘在轴线上产生的电势为： 轴上各点上的电场强度大小为： 9.14 轻原子核结合成较重的原子核称为核聚变，核聚变时能释放大量的能量。例如，四个氢原子核（质子）聚变成一个氦原子核（粒子）时，可释放出28MeV的能量，这种核聚变就是太阳发光发热的能量来源。多年来，人们一直在研究如何实现受控核聚变，以解决人类的能源问题。实现核聚变的困难在于原子核都带正电荷，相互排斥，在一般情况下不能相互靠近而发生结合。只有在温度非常高时，原子核热运动的速度十分快，才能冲破原子核之间的斥力碰到一起，发生热核聚变。根据统计物理学可知，温度为时，粒子的平均平动动能为，其中，称为玻尔兹曼常数。已知质子的半径约为m.试计算两个质子因热运动而达到相互接触时所需的最低温度。 解：质子在其表面附近产生的电势为： 两个质子要相互接触，则质子的平动能要克服势能，即必需满足 。 。 。 。 。 。 。 。 。9.15 题图是密立根设计的油滴实验装置，可以用来测量小油滴的带电量并因此提出基元电荷的数值。被喷雾器喷入的微小油滴，与空气摩擦而带电，带电的油滴通过小孔进入由两带电平行板产生的匀强电场中，调节电场的大小，使作用在油滴上的电场力和重力平衡。若测出油滴的半径cm，平衡时场强，油滴的密度为,求油滴所带电荷。 解：油滴的质量 由平衡条件， 14