传感器习题答案.doc

第1章 传感器的一般特性
1-5 某传感器给定精度为2%F·S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差d(以mV计)。当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论?
解：满量程（F▪S）为50﹣10=40(mV)
可能出现的最大误差为：
d＝40´2%=0.8(mV)
当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：

结论：测量值越接近传感器（仪表）的满量程，测量误差越小。
1-6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数t和静态灵敏度K。
1)
式中, y——输出电压，V；T——输入温度，℃。
2)
式中，y——输出电压，mV；x——输入压力，Pa。
解：根据题给传感器微分方程，得
(1) τ=30/3=10(s)，
K=1.5´10-5/3=0.5´10-5(V/℃)；
(2) τ=1.4/4.2=1/3(s)，
K=9.6/4.2=2.29(mV/Pa)。
1-7 已知一热电偶的时间常数t=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解：依题意，炉内温度变化规律可表示为
x(t) =520+20sin(wt)℃
由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率 w=2pf=2p/80=p/40；
温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y(t)为
y(t)=520+Bsin(wt+j)℃
热电偶为一阶传感器，其动态响应的幅频特性为

因此，热电偶输出信号波动幅值为
B=20A(w)=200.786=15.7℃
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(t)|=520+B=520+15.7=535.7℃
y(t)|=520﹣B=520-15.7=504.3℃
输出信号的相位差j为
j(ω)= -arctan(ω)= -arctan(2p/80´10)= -38.2°
相应的时间滞后为
Dt =
1-8 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即

式中，y——输出电荷量，pC；x——输入加速度，m/s2。
试求其固有振荡频率wn和阻尼比z。
解: 由题给微分方程可得

1-10 用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多
解: 根据题意
（取等号计算）

解出 ωτ =0.3287
所以
当用该系统测试50Hz的正弦信号时，其幅值误差为

相位差为
j=﹣arctan(wt)=﹣arctan(2π×50×0.523×10-3)=﹣9.3°
1-11 一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f0=800Hz，阻尼比z=0.14，现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时，其幅值比A(w)和相位角j(w)各为多少；若该传感器的阻尼比z=0.7时，其A(w)和j(w)又将如何变化?
解:
所以，当ξ=0.14时

当ξ=0.7时

1-12 用一只时间常数t=0.318s的一阶传感器去测量周期分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少?
解：由一阶传感器的动态误差公式

由于t=0.318s

1-13 已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz，阻尼比z=0.1，若要求传感器的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。
解：由f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有

将z=0.1代入，整理得

1-14设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz和1.2kHz，阻尼比均为0.4。今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力，应选用哪一只?并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。
解：由题意知

则其动态误差

=7.76%
相位差

=﹣0.29(rad)=﹣16.6°

第2章 电阻应变式传感器
2-5 一应变片的电阻R0=120Ω，K=2.05，用作应变为800µm/m的传感元件。(1)求△R与△R/R；(2)若电源电压Ui=3V,求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压U0。
解：由 K=， 得

则 ΔR=1.64×10-3 ×R=1.64×10-3 ×120Ω=0.1968Ω
其输出电压为
=1.23(mV)
2-6 一试件的轴向应变εx=0.0015，表示多大的微应变(µε)?该试件的轴向相对伸长率为百分之几?
解： εx =0.0015=1500×10-6 =1500(mε)
由于 εx =Δl/l
所以 Δl/l=εx =0.0015=0.15%
2-7 某120Ω电阻应变片的额定功耗为40mW，如接人等臂直流电桥中，试确定所用的激励电压。
解：由电阻应变片R=120，额定功率P=40mW，则其额定端电压为
U=
当其接入等臂电桥中时，电桥的激励电压为
Ui =2U=2×2.19=4.38V≈4V
2-8 如果将120Ω的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截面积S=0.5×10-4m2，材料弹性模量E=2×101lN/m2。若由5×104N的拉力引起应变片电阻变化为1.2Ω，求该应变片的灵敏系数K。
解：应变片电阻的相对变化为

柱形弹性试件的应变为

应变片的灵敏系数为
K=
2-10 以阻值R=120Ω，灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2µε和2000µε时，分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。
解：依题意
单臂：

差动：

灵敏度：

可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。
2-11 在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Ω的金属应变片R1和R2，把这两应变片接人差动电桥(参看教材图2-11，附下)。若钢的泊松比µ=0.285，应变片的灵敏系数K=2，电桥的电源电压Ui=2V，当试件受轴向拉伸时，测得应变片R1的电阻变化值△R=0.48Ω，试求电桥的输出电压U0；若柱体直径d=10mm，材料的弹性模量E=2×1011N/m2，求其所受拉力大小。

图2-11 差动电桥电路
解：由DR1/R1=Ke1，则
=0.002
e2= -me1= -0.285´0.002= -0.00057
所以电桥输出电压为

=2/4 ×2×(0.002+0.00057)
=0.00257(V)=2.57(mV)
当柱体直径d=10mm时，由 ，得
F=
=3.14×104(N)
2-12 一台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片，做成称重传感器，如图2-12（见教材，附下）所示。已知l=10mm，b0=11mm，h=3mm，E=2.1×104N/mm2，K=2，接入直流四臂差动电桥，供桥电压6V，求其电压灵敏度(Ku=U0/F)。当称重0.5kg时，电桥的输出电压U0为多大?

图2-12 悬臂梁式力传感器
解：等强度梁受力F时的应变为

当上下各贴两片应变片，并接入四臂差动电桥中时，其输出电压：

则其电压灵敏度为

=3.463×10-3 (V/N)=3.463(mV/N)
当称重 F=0.5kg=0.5×9.8N=4.9N时，输出电压为
U0 =Ku F=3.463×4.9=16.97(mV)
2-13 现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片，欲测钢构件频率为10kHz的动态应力，若要求应变波幅测量的相对误差小于0.5％，试问应选用哪一种?为什么?
解： l=v/f=5000/（10´103）=0.5(m)
l0=10mm时

l0=20mm时

由此可见，应选用基长l0=10mm的应变片.
2-14有四个性能完全相同的应变片(K=2.0)，将其贴在图2-14（见教材）所示的压力传感器圆板形感压膜片上。已知膜片的半径R=20mm，厚度h=0.3mm，材料的泊松比µ=0.285，弹性模量E=2.0×1011N/m2。现将四个应变片组成全桥测量电路，供桥电压Ui=6V。求：
(1)确定应变片在感压膜片上的位置，并画出位置示意图；
(2)画出相应的全桥测量电路图；
(3)当被测压力为0.1MPa时，求各应变片的应变值及测量桥路输出电压U0；
(4)该压力传感器是否具有温度补偿作用?为什么?
(5)桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系?
解：（1）四个应变片中，R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向；R1、R4粘贴在圆形感压膜片之外沿径向，并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。
（2）测量电桥电路如右图所示。
（3）根据（1）的粘贴方式，知
（=etmax）

=0.7656×10-3
ε1 =ε4 = -εtmax = -0.7656×10-3
则测量桥路的输出电压为

=6´2´0.7656´10-3=9.19 ´10-3（V）=9.19mV
（4）具有温度补偿作用；
（5）输出电压与被测力之间存在线性关系，因此，由（3）知

2-17 线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ，电刷最大行程4mm，若允许最大消耗功率为40mW，传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。试求当输入位移量为1.2mm时，输出电压是多少?
解：最大激励电压

当线位移x=1.2mm时，其输出电压

2-18 一测量线位移的电位器式传感器，测量范围为0~10mm，分辨力为0.05mm，灵敏度为2.7V/mm，电位器绕线骨架外径d=5mm，电阻丝材料为铂铱合金，其电阻率为ρ=3.25×10-4Ω·mm。当负载电阻RL=10Ω时，求传感器的最大负载误差。
解：由题知，电位器的导线匝数为
N=10/0.05=200
则导线长度为
l=Npd=200pd， (d为骨架外径)
电阻丝直径与其分辨力相当，即d丝=0.05mm
故电阻丝的电阻值

δLm ≈15m%=15×0.052%=0.78%

第3章 电感式传感器
3-5 某差动螺管式电感传感器(参见教材图3-15)的结构参数为单个线圈匝数W=800匝，l=10mm，lc=6mm，r=5mm，rc=1mm，设实际应用中铁芯的相对磁导率µr=3000，试求：
(1)在平衡状态下单个线圈的电感量L0=?及其电感灵敏度足KL=?
(2)若将其接人变压器电桥，电源频率为1000Hz，电压E=1.8V，设电感线圈有效电阻可忽略，求该传感器灵敏度K。
(3)若要控制理论线性度在1％以内，最大量程为多少?

图3-15 差动螺管式电感传感器
解：（1）根椐螺管式电感传感器电感量计算公式，得

差动工作灵敏度：

(2) 当f=1000Hz时，单线圈的感抗为
XL =ωL0 =2πf L0 =2π×1000×0.46=2890(Ω)
显然XL >线圈电阻R0，则输出电压为

测量电路的电压灵敏度为

而线圈差动时的电感灵敏度为KL =151.6mH/mm，则该螺管式电感传感器及其测量电路的总灵敏度为

=297.1mV/mm
3-16 有一只差动电感位移传感器，已知电源电Usr=4V，f=400Hz，传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω，L= 30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如习题图3-16所示，试求：
(1)匹配电阻R3和R4的值；
(2)当△Z=10时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值；
(3)用相量图表明输出电压与输入电压之间的相位差。
解：（1） 线圈感抗
XL=wL=2pfL=2p´400´30´10-3=75.4（W）
线圈的阻抗

故其电桥的匹配电阻(见习题图3-16)
R3 = R4 =Z=85.4（W）
（2）当ΔZ=10W时，电桥的输出电压分别为
单臂工作：
双臂差动工作：
（3）
3-17 如图3-17（见教材，附下）所示气隙型电感传感器，衔铁截面积S=4×4mm2，气隙总长度δ= 0.8mm，衔铁最大位移△δ=±0.08mm，激励线圈匝数W=2500匝，导线直径d=0.06mm，电阻率ρ=1.75×10-6Ω.cm，当激励电源频率f=4000Hz时，忽略漏磁及铁损，求：
(1)线圈电感值；
(2)电感的最大变化量；
(3)线圈的直流电阻值；
(4)线圈的品质因数；
(5)当线圈存在200pF分布电容与之并联后其等效电感值。

解：（1）线圈电感值 图3-17 气隙型电感式传感器（变隙式）

（2）衔铁位移Δδ=+0.08mm时，其电感值

=1.31×10-1(H)=131mH
衔铁位移Δδ=﹣0.08mm时，其电感值

=1.96×10-1(H)=196(mH)
故位移Δδ=±0.08mm时，电感的最大变化量为
ΔL=L-﹣L+=196﹣131=65(mH)
(3)线圈的直流电阻
设为每匝线圈的平均长度，则

=249.6W
(4)线圈的品质因数

(5)当存在分布电容200PF时，其等效电感值

3-18 如图3--15所示差动螺管式电感传感器，其结构参数如下：l=160mm，r=4mm， rc=2.5mm，lc=96mm，导线直径d=0.25mm，电阻率ρ=1.75×10-6Ω·cm，线圈匝数W1=W2=3000匝，铁芯相对磁导率µr=30，激励电源频率f=3000Hz。要求：
(1)画出螺管内轴向磁场强度H~x分布图，根据曲线估计当△H<0.2(IN／l)时，铁芯移动工作范围有多大?
(2)估算单个线圈的电感值L=?直流电阻R=?品质因数Q=?
(3)当铁芯移动±5mm时，线圈的电感的变化量△L=?
(4)当采用交流电桥检测时，其桥路电源电压有效值E=6V，要求设计电路具有最大输出电压值，画出相应桥路原理图，并求输出电压值。
解：（1） 略
（2）单位线圈电感值

电阻值 （lcp=2pr，每匝导线长度）

则品质因数
(3)铁芯位移Δlc=±5mm时，单个线圈电感的变化

(4)要使电桥输出最大，须使电桥为等臂电桥，则相邻桥臂阻抗比值a=1；且将电感线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧，则q =±(π/2)，这时电桥的灵敏度|K|=0.5，差动工作时为其2倍，故其输出电压

=0.544(V)=544mV
其电桥电路如下图所示，其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。
(图略)

第4章 电容式传感器
4-2 试计算习题4—2图所示各电容传感元件的总电容表达式。

习题图4-2
解：由习题图4-2可见
（1） 三个电容串联
， ，
则
故

（2）两个电容器并联

（3）柱形电容器

4-3 在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥测量电路，如习题图4-3所示。已知：δ0=0.25mm；D=38.2mm；R=5.1kΩ；Usr=60V(交流)，频率f=400Hz。试求：
(1)该电容传感器的电压灵敏度Ku (V/µm)；
(2)当电容传感器的动极板位移△δ=10µm时，输出电压Usc值。

习题图4-3
解：由传感器结构及其测量电路可知
（1）初始电容

由于

则

从而得
(2) U0 = Ku Δd=0.12V/mm×10mm=1.2V
4-4 有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm，假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。试求：
(1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10µm，电容变化量为多少?
(2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF，则在△d=±1µm户时的输出电压为多少?
解：由题意可求
（1）初始电容：

由 ，则当Δd=±10um时

如果考虑d1=0.3mm+10µm与d2=0.3mm﹣10µm之间的电容变化量ΔC′，则应为
ΔC′=2|ΔC|=2×0.049=0.098pF
(2) 当Δd=±1µm时

由 Ku=100mV/pF=U0/ΔC，则
U0=KuΔC=100mV/pF×(±0.0049pF)=±0.49mV
4-5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。选用变压器交流电桥作测量电路。差动电容器参数：r=12mm；d1=d2=d0=0.6mm；空气介质，即ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：usr=u== 3sinωt (V)。试求当动极板上输入位移(向上位移) △x=0.05mm时，电桥输出端电压Usc?

习题图4-5
解：由习题图4-5可求
初始电容
C1=C2=C0=eS/d=e0pr2/d0

变压器输出电压

其中Z1 ,Z2 分别为差动电容传感器C1 ,C2 的阻抗.在ΔX<<d0时，C1 = C0 +ΔC, C2 = C0-ΔC，且DC/C0=Dd/d0，由此可得
(V)
4-6 如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用二极管双厂网络测量电路。差动电容器参数为：a=40mm，b=20mm，dl=d2=d0=1mm；起始时动极板处于中间位置，Cl=C2=C0，介质为空气，ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：D1、D2为理想二极管；及R1=R2=R=10KΩ；Rf=1MΩ，激励电压Ui=36V，变化频率f=1MHz。试求当动极板向右位移△x=10mm时，电桥输出端电压Usc?

习题图4-6
解：由习题图4-6可求
传感器初始电容

=3.54×10-12（F）=3.54pF
当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为

或，
则 C1 = C0+ΔC，C2 = C0-∆C，由双T二极管网络知其输出电压
USC = 2 k Ui fΔC

4-7 一只电容位移传感器如习题4-7图所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板A、C和D是固定极板；板B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为d。B、C和D极板的长度均为a，A板的长度为2a，各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。

习题图4-7
解：参见习题图4-7知
CAC是CAB与CBC串联，CAD是CAB与CBD串联。
当动极板向左位移a/2时，完全与C极板相对，此时
CAB=CBC=ε0ab/d，
则
CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d；
CAD=ε0ab/(2d+t)。
当动极板向右移a/2时，与上相仿，有
CAC =ε0ab/(2d+t)；CAD=ε0ab/2d
4-8 已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=(2x2)cm2，间隙d0=0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d0，而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。
解：初始电容

=35.4×10-12(F) =35.4pF
当装配不平衡时可取其平均间隙

=0.1+0.01/2=0.105(mm)
则其电容为

=33.7×10-12(F)=33.7pF

第5章 压电式传感器
5-3 有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力P=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压：
(1)零度X切的纵向石英晶体；
(2)利用纵向效应的BaTiO3。
解：由题意知，压电晶体受力为
F=PS=10×106×20×10-6=200(N)
（1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×10-12C/N
等效电容

=7.97×10-14 (F)
受力F产生电荷
Q=d11F=2.31×10-12×200=462×10-2(C)=462pC
输出电压

（2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×10-12C/N
等效电容

=33.6×10-12(F)=33.6(pF)
受力F产生电荷
Q=d33F=191×10-12×200=38200×10-12 (C)=3.82×10-8C
输出电压

5-4某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容CC=3000pF，示波器的输入阻抗为1MΩ和并联电容为50pF，求：
(1)压电晶体的电压灵敏度足Ku；
(2)测量系统的高频响应；
(3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少?
(4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大?
解：（1）
（2）高频（ω→∞）时，其响应

（3）系统的谐振频率

由 ，得
（取等号计算）

解出 (ω/ωn)2=9.2564→ω/ωn=3.0424
ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s)
f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz)
（4）由上面知，当g≤5%时，ω/ωn=3.0424
当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时
ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s)
又由ωn=1/RC，则
C=1/ωnR=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84´104pF
5-5 分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。
解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意
（取等号计算）
则
1+(ω/ωn)4﹣2(ω/ωn)2 +4×0.52(ω/ωn)2=0.96
(ω/ωn)4 ﹣(ω/ωn)2 +0.04=0
解出 (ω/ωn)2 =0.042或(ω/ωn)2 =0.96（舍去）
所以 ω/ωn =0.205 或-0.205（舍去）
w=0.205wn
则 fH =0.205f0 =0.205×30=6.15(kHz)
压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性

由题意得 （取等号计算）

(wt)2 =0.9604+0.9604 (wt)2
(wt)2 =24.25
wt=4.924
ω=4.924/τ
fL =ω/2π=4.924/(2pt)=4.924/(2pRC)=4.924/(2p×5×108×10-9 )
=1.57(Hz)
其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz
5-6 石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9×1010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求：
(1)两极板间电压峰—峰值；
(2)晶体厚度的最大变化。
解：（1）石英压电晶片的电容

=4.514 ×10--12 (F)
≈4.5pF
由于Ra =1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω
则总电阻 R=Ra // R并 = 1014 //108 ≈108Ω
总电容 C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF)
又因 F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N
kq =2 pC/N
则电荷 Q=d11 F= kq F
Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N×0.01N=0.02 pC
所以

=0.756×10-3 (V)=0.756mV
峰—峰值： Uim-im =2Uim =2×0.756=1.512mV
（2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100×10-6×9×1010 )=1.11×10-9 =Δdm /d
Δdm =dem =1×1.11×10-9 (mm)=1.11×10-9 mm
厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）
Δd =2Δdm =2×1.11×10-9 =2.22×10-9 (mm)
=2.22×10-12 m
5-7 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度)
解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度
K=Kq•Ku =5pC/g ×50 mV/pC=250mV/g=Uo/a
式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。
则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为
a=Uo/K=2×103/250=8(g)
5-8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在1Hz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大?
解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为
，（取等号计算）

(ω/ωn)2 =0.9025+0.9025 (ω/ωn)2
ω/ωn =3.04
τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π×1)=0.484(s)=RC
所以
R=τ/C=0.484/(500×10-12) =9.68×108W=968MW
5-9 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。
解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为

（取等号）
(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0
解出 (ω/ωn)2 =0.0485或(ω/ωn)2 =1.912（舍去）
则 ω/ωn≈0.22
ωH =0.22ωn
则 fH =0.22f0 =0.22×32=7.04(kHz)
5-10 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。
解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷
Q=80 pC/Pa ×1.4Pa=112 pC
输出电压为
Ua =Q/Ca =112×10-12 /(1×10-9)=0.112(V)
5-11 一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)—100mV；(2)10V；(3)—75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。
解：测力环总灵敏度
K=3.9 pC/N ×10mV/pC=39 mV/N = U0/F
式中，U0为输出电压，F为被测力，所以
F1 =U01 /K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N (压力)
F2 =U02 /K=10×10 3mV/39mV/N=256N (拉力)
F3 =U03 /K=﹣75×10 3mV/39mV/N=﹣1923N (压力)
5-14某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d11=2.31X10-12C/N。当0.1MPa压力垂直作用于PX平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压Ua的值。
解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷
Q并=2Q=2•d11 F=2•d11 •πr2
=2×2.31×10-12×0.1×106 ×π×(1×10-2 )2
=145×10-12 (C)
=145pC
总电容
C并=2C=2e0erS/h=2e0erpr2 /h
=2×8.85×10-12×4.5×p×(1×10-2)2/0.2´10-3
=125.1×10-12 (F)
=125.1pF
电极间电压为
U并= Q并/C并=145/125.1=1.16V

第6章 磁电式传感器
6-5 某动圈式速度传感器弹簧系统的刚度k=3200N／m，测得其固有频率为20Hz，今欲将其固有频率减小为10Hz，问弹簧刚度应为多大?
解：
f0 =20Hz ， k=3200N/m时，
f0′=10Hz时，由
则
6-6 已知恒磁通磁电式速度传感器的固有频率为10Hz，质量块重2.08N，气隙磁感应强度为1T，单匝线圈长度为4mm，线圈总匝数1500匝，试求弹簧刚度k值和电压灵敏度Ku值(mV/(m/s))。
解：由，则
k=ω2 m=(2pf)2 m=(2p×10)2×2.08/9.8
=8.38×102 (N/m)
Ku =e/v=NB0l0v/v=NB0l0