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第五章 数学物理方程和定解条件的导出
5-1 波动方程的定解问题 作业及答案
1. 一长为的均匀细杆，端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长后静止（在弹性限度内），突然放手任其振动，写出振动方程与定解条件。
解：
① 方程：

② 边界条件

③ 初始条件

2. 一根均匀柔软的细弦沿轴绷紧，垂直于平衡位置作微小的横振动，求其振动方程。
解：应用牛顿定律于纵向及横向。
① 纵向。由纵向加速度为零

积分

② 横向

3. 长为的弦两端固定，密度为，开始时在处受到冲量作用，写出初始条件。
解：1.初始条件
1）初位移，时弦来不及振动，故
2）初速度，在段，由动量定理：,而动量的变化为，将两式联立，有
在段，没有受到外界作用，故

4. 长为的均匀细杆，在振动过程中端固定，另一端受拉力的作用，试写出边界条件（杆的横截面积为,杨氏模量为）.
解：我们取和段进行研究，设杆的体密度为，
对于段，由牛顿第二定律有：
由胡克定律

当有
即
对于段有
当有
故其边界条件为

5. 线密度为长为的弦，两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度的弦所受阻力，试写出其运动方程。
解：任取一小段弦进行研究，由牛顿定律在垂直方向有

水平方向有
我们研究的范围限于微小振动

亦即
且

因为这项很小，可以忽略不计
所以
令
故运动方程为：