电磁场电磁波习题及解答.doc

3-15 长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如图()所示。证明：直导线与矩形回路间的互感是

题3.15图()

题3.15图()

解 设长直导线中的电流为，则其产生的磁场为
由图()可知，与矩形回路交链的磁通为

其中
故直导线与矩形回路间的互感为

4.21 一个点电荷与无限大导体平面距离为，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？

题 4.21图

解 利用镜像法求解。当点电荷移动到距离导体平面为的点处时，其像电荷，与导体平面相距为，如题4.21图所示。像电荷在点处产生的电场为

所以将点电荷移到无穷远处时，电场所作的功为

外力所作的功为

4.24 一个半径为的导体球带有电荷量为，在球体外距离球心为处有一个点电荷。（1）求点电荷与导体球之间的静电力；（2）证明：当与同号，且成立时，表现为吸引力。

题 4.24图

解 （1）导体球上除带有电荷量之外，点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷和的大小和位置分别为（如题4.24图所示）
，
，
导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效。故点电荷受到的静电力为

（2）当与同号，且表现为吸引力，即时，则应有

由此可得出

5.6 一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即

故电容器两极板间的位移电流密度为

则

式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为

可见

5.12 试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表示麦克斯韦方程。
解 注意到非均匀媒质的参数是空间坐标的函数，因此

而

因此，麦克斯韦第一方程

变为

又

故麦克斯韦第四方程变为

则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为

5.19 写出存在电荷J的无损耗媒质中E和H的波动方程。
解 存在外加源和J时，麦克斯韦方程组为
（1）
（2）
（3）
（4）
对式（1）两边取旋度，得

而

故
（5）
将式（2）和式（3）代入式（5），得

这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。
同样，对式（2）两边取旋度，得

即
（6）
将式（1）和式（4）代入式（6），得

此即E满足的波动方程。
对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示
（7）
（8）
（9）
（10）
对式（7）两边取旋度，得

利用矢量恒等式

得
（11）
将式（8）和式（9）代入式（11），得

此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。
同样，对式（8）两边取旋度，得

即
（12）
将式（7）和式（10）代入式（12），得

此即E满足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。

5.20 在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令，试导出A和所满足的微分方程。
解 将电磁矢量位A的关系式

和电磁标量位的关系式

代入麦克斯韦第一方程

得

利用矢量恒等式

得
（1）
又由

得

即
（2）
按库仑规范，令，将其代入式（1）和式（2）得
（3）
（4）
式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场A和所满足的微分方程。

6.28 一个线极化平面波从自由空间入射到的电介质分界面上，如果入射波的电场矢量与入射面的夹角为45°。试求：（1）入射角为何值时，反射波只有垂直极化波；（2）此时反射波的平均功率流是入射波的百分之几？
解 （1）由已知条件知入射波中包括垂直极化分量和平行极化分量，且两分量的大小相等。当入射角等于布儒斯特角时，平行极化波将无反射，反射波中就只有垂直极化分量。

（2）时，垂直极化分量的反射系数为

故反射波的平均功率流为

而入射波的平均功率流为

可见，

8.5 已知矩形波导的横截面尺寸为，试求当工作波长时，波导中能传输哪些波型？时呢？
  解：波导中能传输的模式应满足条件
（工作波长小于截止波长）
或 （工作频率大于截止频率）
在矩形波导中截止波长为
由传输条件
能满足传输条件的m和n为

(1) m=0 n<1 不存在
（2）m=1 n<0.9005
(3) m=2 n<0.4938
(4) m=3 等式不成立