第3章 动量角动量习题解答.doc

第3章 动量 角动量3-1一架飞机以300m/s的速率水平飞行，与一只身长0.20m、质量0.50kg的飞鸟相撞，设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)。根据本题计算结果,谈谈高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰撞后会产生什么后果？解 飞鸟碰撞前速度可以忽略,碰撞过程中冲量的大小为: 考虑到碰撞时间可估算为 即得飞鸟对飞机的冲击力 由此可见飞机所受冲击力是相当大的，足以导致机毁人亡，后果很严重。习题3-2图3-2 水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。如图，设水柱直径，水速，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。解 t时间内射向煤层的水柱质量为煤层对水柱的平均冲击力（如图以向右为正方向）为 水柱对煤层的平均冲力为 ，方向向右。3-3 质量的物体沿轴无摩擦地运动，设时，物体位于原点，速率为零。如果物体在作用力的作用下运动了3秒，计算3秒末物体的速度和加速度各为多少？（题中作用线沿着轴方向）解 力在3秒内的冲量根据质点的动量定理 得 加速度 3-4 质量为的物体，开始时静止，在时间间隔内，受力 作用，试证明，在时物体的速率为。证 由质点的动量定理得即 3-5 质量的物体在水平面上受到沿水平方向的拉力作用，初始条件，物体与水平面间的摩擦系数。求第2秒末物体的速度和加速度。（重力加速度）解 经分析知，物体在前1秒内受到的拉力不足以克服摩擦力，故物体处于静止状态，合力始终为零(拉力等于静摩擦力).1秒之后物体才开始运动。开始运动后物体受力 力在第2秒内的冲量 根据质点的动量定理得 2秒末的加速度 习题3-6图3-6 如图所示，大炮在发射时会发生反冲现象。设炮身的仰角为，炮弹和炮身的质量分别为和，炮弹的出口速度为，若忽略炮身反冲时与地面的摩擦力，求炮身的反冲速度。解 忽略了炮身与地面的摩擦力，在水平方向上动量守恒。取炮弹为研究对象，炮身为系，地面为系。设轴水平向右。炮弹发射前系统的总动量为零。发射后，炮弹相对于炮口的速度为（此即出口速习题3-6解用图度的含义），与轴为角，炮身则以速度沿轴负方向运动，炮弹对地的速度矢量关系如解用图所示.炮弹和炮身在水平方向的动量分别为和,根据动量守恒定律有 解得 方向如图。习题3-7解用图3-7一个原来静止的原子核，放射性蜕变时放出一个动量为的电子，同时还在垂直于此电子运动的方向上放出一个动量为的中微子。求蜕变后原子核的反冲动量的大小和方向。解 设原子核蜕变后电子、中微子和反冲粒子具有的动量如解用图所示。根据动量守恒定律有由图可知，反冲粒子的动量的大小的方向应在和所在的平面内，与的夹角为习题3-8图习题3-8解用图3-8 如图，质量为且均匀分布、长为可绕光滑垂直轴在粗糙的水平桌面内定轴转动，设细杆与水平桌面间的摩擦系数为，求细杆在转动时所受到的摩擦力矩。解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个细杆与桌子的接触面上，因此摩擦力矩的计算要用积分。如解用图，在距轴为的地方取长度为的微元，则该微元的质量，在转动过程其所受摩擦力摩擦力对轴力矩的大小为整个细杆所受的摩擦力矩习题3-9图3-9 如图，一半径为、质量为的匀质薄圆盘，平放在粗糙的水平桌面上，可绕通过中心且垂直盘面的轴旋转。设盘与桌面间的摩擦系数为，求圆盘在转动时所受到的摩擦力矩。习题3-9解用图解 本题中由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，因此摩擦力矩的计算要用积分。如图，在距轴为的地方取宽度为的圆环，则该圆环的质量在转动过程中圆环所受的摩擦力摩擦力对轴力矩的大小为整个薄圆盘所受的摩擦力矩习题3-10图3-10 如图，以初速度将质量为的质点以仰角从坐标原点处抛出。设质点在平面内运动，不计空气阻力，计算任一时刻，相对于坐标原点（1）作用在质点上的力矩；（2）质点的角动量。3-10解 (1) 质点运动方程为 重力 则作用在质点上的力矩 （2）速度 角动量 或由角动量定理 3-11卢瑟福等人用粒子轰击金箔时，发现有些入射粒子散射偏转角很大，甚至超过900，卢瑟福于1911年提出原子必有一带正电的“核心”，即原子核。如图，已知某粒子的质量为，以速度接近一重原子核，瞄准距离原子核到方向线的垂直距离(如图)为。设粒子与重原子核的最短距离为，求此时粒子的速率。设原子核质量比粒子大得多，可以近似看成静止。习题3-11图解 开始时粒子角动量的大小，方向垂直纸面向外。当粒子与重原子核的距离最短时，速度与它和重核连线垂直，设此时速率为，则此时质点的角动量。粒子在运动过程中只有静电力作用，力的作用线通过重原子核，力矩为零，满足角动量守恒条件，即 解得 3-12 求习题3-8中，设细杆初始角速度为，求细杆到停止转动所需要的时间。解 刚体开始转动时的角动量，停止转动时角度。取为正方向，由习题3-8的结果知整个细杆所受的摩擦力矩恒定，且为负值，。根据刚体定轴转动的角动量定理得解得 3-13 求习题3-9中，设圆盘初始角速度为，求匀质圆盘到停止转动所需要的时间。解 圆盘开始转动时的角动量，停止转动时角度。取为正方向，由习题3-9的结果知整个圆盘所受的摩擦力矩恒定，且为负值，。根据刚体定轴转动的角动量定理得解得 3-14 芭蕾舞演员绕通过自身的竖直轴旋转，开始时两臂伸开，转动惯量为，角速度为；然后将两手臂合拢，使其转动惯量为，则转动角速度变为多少？ 解 根据角动量守恒定律，有，解得 (a)啮合前 (b)啮合后习题3-15图3-15 、两质量均匀分布的圆盘分别绕过其中心的垂直轴转动，角速度分别是、，它们半径和质量分别为、和、。求、对心啮合后的共同角速度。解 研究A、B圆盘组成的系统啮合过程，由于系统不受对轴的外力矩作用，故系统的角动量守恒即 得 3-16 在相对于中心垂直轴自由旋转的水平转盘边上站一质量为的人，转盘的半径为，质量为且均匀分布。若开始时人相对于水平转盘静止，人和转盘组成的系统角速度为，这人由盘边走到盘心，求转盘角速度的变化。解 对人和转盘组成的系统，相对于中心垂直轴，所受外力矩为零，角动量守恒。将人视为质点，当人从转盘边缘走到转盘的轴心时，此人的转动惯量变为零，角动量也为零， 即 得 转盘角速度的变化 3-17 长为、质量为的匀质木杆，一端挂在光滑的水平轴上，开始时静止于竖直位置，现有一粒质量为的子弹以水平速度从杆的中点穿过，穿出速度为，求匀质木杆开始转动时的角速度。习题3-17图解 开始时，子弹和木杆组成的系统相对于点的角动量，设子弹和匀质木杆相互作用后，木杆转动的角速度为，则系统的角动量 选子弹和木杆为研究对象，角动量守恒，得到 解得 习题3-18图3-18 质量为、长为的匀质细杆，可绕光滑端点自由转动，质量为的小球和细杆均在摩擦系数为的水平面上。初速度为的小球与细杆垂直相碰，设碰撞后小球弹回的速度为。求细杆从静止开始转动到转动停止所需要的时间。解 取细杆逆时针转动的角动量正方向，设碰撞后细杆获得角速度为。根据小球和细杆系统在垂直相碰的过程中角动量守恒得 由习题3-8细杆转动中受到平面的摩擦力矩 设细杆开始转动后秒停下，则由角动量定理得 7