第二章质点动力学习题解答.doc

第2章 质点动力学
2-1. 如附图所示，质量均为的两木块A、B分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C上。若突然撤去支持面C，问在撤去支持面瞬间，木块A和B的加速度为多大？

解：在撤去支持面之前，A受重力和弹簧压力平衡，，B受支持面压力向上为，与重力和弹簧压力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则
A：平衡，；B：不平衡，。

2-2 判断下列说法是否正确？说明理由。
（1） 质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向心力。
（2） 质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。

解：（1）不正确。不指向圆心的力的分量可为向心力。
（2）不正确。合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。

2-3 如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出。另有沿绳子拉力的方向求合力，写出。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的 ，为什么？

解：正确，因物体在竖直方向上受力平衡，物体速度竖直分量为0，只在水平面内运动。
不正确，因沿方向，物体运动有分量，必须考虑其中的一部分提供向心力。应为：。

2-4 已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，为比例常数。设质点在时的速度为零，求处的速度的大小。
解：由牛顿第二定律：，。寻求与的关系，换元：
，
分离变量： 。
，
当时，。

2-5 如附图所示，一质量分布均匀的绳子，质量为，长度为，一端拴在转轴上，并以恒定角速度在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为处绳中的张力。

解：

2－6 如图所示,已知两物体A、B 的质量均为m ＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m/ｓ2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)

习题2－6图
解：如图所示，分别对物体和滑轮作受力分析。

根据牛顿第二定律，运动方程为
（1）
（2）
（3）
因为，，，，联立（1）（2）（3）式解得

2－7 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N,t 的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x ＝5.0 m处,其速度v0＝6.0 m/ｓ．求质点在任意时刻的速度和位置．
解：质点作直线运动，根据牛顿第二定律，有

分离变量并积分
得
由，两边积分
得
2－8 质量为m的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2 ,其中b为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy 轴.
(1) 求运动员在水中的速率v与y 的函数关系；
(2) 如b /m ＝0.40m -1 ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0 的1/10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)

习题2－8图
解：（1）跳水运动员在入水前作自由落体运动，入水速度为，入水后根据牛顿第二定律，运动方程为

即
因
分离变量并积分
得
（2）由上式代入已知条件得

2－9 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m/ｓ竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr ＝kv,且k ＝0.03 N/( m/ｓ)．
(1) 求物体发射到最大高度所需的时间．
(2) 最大高度为多少？
解：（1）取竖直向上为y轴正方向，由牛顿第二定律，运动方程为

分离变量，并积分

得
（2）由 分离变量积分

得
2－10 如图所示,在光滑水平面上,放一质量为m′的三棱柱A,它的斜面的倾角为a ，现把一质量为m 的滑块B 放在三棱柱的光滑斜面上．试求：(1)三棱柱相对于地面的加速度；(2) 滑块相对于地面的加速度；(3) 滑块与三棱柱之间的正压力。

习题2－10图

解：三棱柱A和滑块B受力如图，以三棱柱A为参考系（非惯性系），应用牛顿第二定律，有
（1）
（2）
（3）
（4）
以上四式联立解得

由加速度的矢量关系，得

与竖直向下方向的夹角

2－11 跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率。
解：由牛顿第二定律，运动方程为

分离变量，并积分

得 即
当时，极限速率。

2－12 一半径为R的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为m的小球正以角速度w 沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。

解：小球受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为

上两式消去FN，求得
小球运动水平面距离碗底的高度为

2－13在光滑的竖直圆环上，套有两个质量均为m的小球A和B，并用轻而不易拉伸的绳子把两球联结起来。两球由图示位置开始释放，试求此时绳上的张力。
T
mg
mg
FNA
FNB
aB
aA

习题2－13图

解：小球A和B受力如图所示，由牛顿第二定律，运动方程为

注意到，，上四式联立求得

2－14 如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v2,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？

v2

v¢2

q
v1

a

解：以雨滴为研究对象，地面为静止参考系，汽车为运动参考系。如图，v2为绝对速度，v1 为牵连速度，雨滴相对于汽车速度v¢2为相对速度。要使物体不会被雨水淋湿，v¢2的方向应满足，由图可知

即
所以

2－15 一飞机驾驶员想往正北方向航行,而风以的速度由东向西刮来,如果飞机的航速(在静止空气中的速率)为,试问驾驶员应取什么航向? 飞机相对地面的速率为多少? 试用矢量图说明。

解：以地面为参考系，飞机为研究对象，如图，飞机相对地面的速度v为绝对速度，风的速度u为牵连速度，飞机
北
西
v
v¢

u
a
的航速v¢为相对速度。由
v＝u＋ v¢
可得飞机相对地面的速度

， 驾驶员应取向北偏东的航向。