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第五章 单元构造与分析

本章将集中探讨如何进行单元分析，主要阐述建立单元形函数的一般方法，介绍各种类型的单元族以及他们的精度比较。

§5.1建立单元形函数的方法
单元形函数，即单元位移模式决定了有限元解的精度。它与解答精度的关系。
5
6
4
1
2
3
y
x
用h表示单元的特征尺寸，用p表示形函数中多项式的次数，则有限元解的误差阶数近似为。显然，增加单元形函数的阶次会使误差的阶次增加，解答会更迅速地收敛于精确解。对于给定的自由度，应当寻求具有最高阶次的多项式。根据收敛准则的要求，形函数中至少应包括多项式的常数项和一次项。
图5.1 矩形单元

建立形函数的第一种方法是直接写出坐标的多项式形式。
(5.1.1a)
或
(5.1.1b)
其中。为待定常数。这个试探函数满足收敛性要求，即为含有常数项、线性项的连续函数。
上式中含有6个待定参数，由6个节点的节点物理量可以提供6个线性方程
(5.1.2a)
或者简写为
(5.1.2b)
其中，上式的解为
(5.1.3)
于是插值函数为
(5.1.4)
其中。从原理上说，上述方法不需要很大的技巧，但其缺点是有时不存在。
另一种方法是利用各种对坐标的插值公式，直接写出形函数的形式，例如Lagrange插值法和Hermiter插值法等。

§5.2 矩形单元 Lagrange族和Serendipity族
本节以矩形单元为例，说明构造单元的两类重要方法：Lagrange插值法和Serendipity法，相应的单元分别称为Lagrange单元和Serendipity单元。
1. Lagrange插值法
1

简单地把两个坐标的适当多项式相乘，是形成任意矩形单元形函数的一种比较容易而系统化的方法。

图5.2 矩形单元的Lagrange插值
1
5
2
6
3
7
8
4
2
3
1
η
ξ
4
9
图5.3 矩形Lagrange单元
图5.3所示的是矩形Lagrange单元中前2阶的单元，建立坐标系使每个角节点的坐标为，单元的边长为2。对于线性单元，只有四个角节点，每个边上有两个节点。其形函数为
（i=1，2，3，4） (5.2.1)
其中
， (5.2.2)
为节点i的坐标值。
二次Lagrange单元有9个节点（8个节点在边界上，1个节点在形心）.
三次Lagrange单元有16个节点（每个坐标方向有4个节点，单元内部有4个节点）.
Lagrange单元的阶次是不受限制的。这类单元的建立比较容易，但用途有限，原因是高次单元具有大量的内部节点，而且高次Lagrange多项式的曲线拟合性较差。

2. Serendipity族
该方法的主要思想是利用边界上节点的值来确定形函数，以克服Lagrange单元必须设置内部节点的缺点。它要求单元各个边上的节点数必须相等。

对于矩形Serendipity线性单元，只有四个角节点，每个边上有两个节点，没有内部节点。建立与图5.3相同的坐标系（如图5.4所示），使每个角节点的坐标为。在每个坐标方向采用Lagrange插值，其形函数等同于线性Lagrange单元。
二次Serendipity单元有8个节点，形函数为
(i=1，2，3，4) (5.2.5a)
(i=5，7) (5.2.5b)
(i=6，8) (5.2.5c)
三次Serendipity单元有12个节点，
Serendipity一词的原义为意外惊喜地发现的意思。Serendipity单元的形函数最初是通过观察得出的，后来总结出系统化的方法。以二次Serendipity单元为例，建立单元形函数的方法如下。
（1）对于边中节点，用一个坐标的二次、另一个坐标的线性Lagrange插值得到，例如节点5和节点8的形函数为：
， (5.2.7)
（2）对于角节点，形函数的建立过程由两个步骤完成。例如对1节点，首先写出其线性函数，这个函数在节点1处，但在5，8节点。然后，为了使在5，8节点处为零，做下列函数的组合
(5.2.8)
这样在1节点等于1，在5，8节点上等于0。它就是1节点的形函数。
概括地讲，Serendipity单元形函数的建立方法就是：边中节点用Lagrange形式的插值，角节点用双线性函数与边中节点的形函数的适当组合。Serendipity族与Lagrange族的线性单元是一致的，二次以上的单元因有无内部节点而不同。

§5.3 等参元

等参元的含义是利用相同的插值方式定义单元的几何形状和位移场，设位移和坐标的插值函数分别为
， (5.3.1)
， (5.3.2)
如果，且以相同的节点定义单元几何形状与单元位移，则称此单元为等参元。如果，的阶数高于，即位移参数多于几何参数，则为亚参元。如果，的阶数低于的阶数，即位移参数少于几何参数，则为超参元。如图5.5所示。

(a) 等参元 (b) 亚参元 (c) 超参元
图5.5 等参元，亚参元和超参元。·几何插值点，O位移插值点

总体坐标, 自然坐标

(5.3.5)
ξ=1
ξ=0
ξ=-1
2
5
7
η=1
η=0
η=-1
9
8
6
5
4
3
2
1
9
ξ？
7

4
3
1
8
（ξ,η）
ξ
η
6

0
1
1
x
y

0
1
1
x

10
y
-1
-1
图5.7 自然坐标系

图5.8a 矩形单元的映射
1

3
1
5
1
4
2
η
6
3
ξ
5
2
4
6
1
ζ
16
2
14
10
3
ξ
9
1
12
13
15
4
11
17
6
20
5
18
ζ
8
7
ζ
η
ξ
η
19
图5.8b 三角形单元的映射

9
ξ
1
7
8
3
5
10
6
2
4
ζ
η
8
2
6
5
1
9
7
3

4

10
图5.9a 六面体单元的映射
图5.9b 四面体单元的映射

为了写出应变-位移矩阵，我们必须建立两个坐标系的梯度之间的关系。由于位移定义为和的函数而非,的函数，我们不能立即写出结果。我们必须先对和求导，使用链式法则：
(5.3.6)
令
(5.3.7)
称为雅可比矩阵，的系数由方程(5.3.1)得：
， (5.3.8)
方程(5.3.6)也可写成
(5.3.9)
于是，应变变为：
(5.3.10)
式中，和是的第一行元素，并且由方程(5.3.3)可求出
， (5.3.11)
用相似的形式可表示其余应变和。最后，能写出应变-位移矩阵。单元刚度矩阵是
（5.3.12）
式中是单元厚度，是J的行列式，可当作是面积之间的比例因子，也就是。一般说来，是坐标的函数。
从上述过程可知，平面等参元的J是2×2矩阵，有3行，对于3维固体单元，J是3×3矩阵，有6行。而的列数与单元的自由度数相同。
等参元概念的引入使得计算诸如刚度阵的体积积分可以变换为上的多重定积分，进而可以方便地采用数值积分格式。
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