二综合法与分析法.docx

2．2.1　综合法与分析法
明目标、知重点　1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
1．综合法
从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．
2．分析法
从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
探究点一　综合法
思考1　请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明　因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
总结：此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．
思考2　综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？
答　因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．
例1　在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明　由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝，③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，
所以△ABC为等边三角形．
反思与感悟　综合法的证明步骤如下：
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
跟踪训练1　在△ABC中，＝，证明：B＝C.
证明　在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0，因为－π<B－C<π，
从而B－C＝0，所以B＝C.
探究点二　分析法
思考1　回顾一下：基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？
答　要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
思考2　证明过程有何特点？
答　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
小结　一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．
思考3　综合法和分析法的区别是什么？
答　综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．
例2　求证：－<－(a≥3)．
证明　方法一　要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－3＋2<2a－3＋2，
只需证<，
只需证0<2，而0<2显然成立，
所以－<－(a≥3)．
方法二　∵＋>＋>0，
∴<，
∴－<－.
反思与感悟　当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．
跟踪训练2　求证：＋<2.
证明　因为＋和2都是正数，
所以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，
展开得10＋2<20，只需证<5，只需证21<25，
因为21<25成立，所以＋<2成立．
探究点三　综合法和分析法的综合应用
思考　在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？
答　对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证．
1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)
A．x<<y<2xy B．2xy<x<<y
C．x<<2xy<y D．x<2xy<<y
答案　D
解析　∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，
则＝，2xy＝，∴x<2xy<<y，故选D.
2．欲证－<－成立，只需证(　　)
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案　C
解析　根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，
即证：＋<＋，
只需证：(＋)2<(＋)2.
3．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案　分析法
4．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．
证明　要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，
只需证＝3，
只需证＝3，
只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，
只需证tan α＝－，
∵＝1，
∴1－tan α＝2＋tan α，
即2tan α＝－1.
∴tan α＝－显然成立，
∴结论得证．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．