曲线的凹凸性.doc

课 时 教 案
授课章节及题目
第四章 曲线的凹凸性
授课时间
第15 周 周二第1、2 节
课 次
1
学 时
2
教学目标与要求
(分掌握、熟悉、了解三个层次)

曲线的凹凸性的判定定理，会求曲线的凹凸区间。

教学重点
与难点
教学重点：利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法

教学难点：导数不存在的连续点、也可能是曲线的凹凸区间的分界点。
教学用具
无
教学过程
环节、时间
授课内容
教学方法
课程导入
（10分钟）
中值定理
提问

新课讲解
（70分钟）

新课讲解
（70分钟）
钟）
一、曲线的凹凸与拐点
1. 凹凸性的概念:
x1
x 2
y
x
O
f(x2)
f(x1)

x1
x 2
y
x
O
f(x2)
f(x1)

定义 设在区间I上连续, 如果对I上任意两点 , 恒有
,
那么称在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有
,
那么称在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).
定义¢ 设函数在区间I上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的.

2.曲线凹凸性的判定
定理 设在上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么
(1)若在内, 则在上的图形是凹的;
(2)若在内 , 则在上的图形是凸的.
证明 只证(1)((2)的证明类似). 设, 记.
由拉格朗日中值公式, 得
, ,
, ,
两式相加并应用拉格朗日中值公式得

, ,
即, 所以在上的图形是凹的.
拐点: 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.
确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求出在二阶导数 ;
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;
(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点;
注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略.
例1. 判断曲线的凹凸性.
解: , .
因为在函数的定义域内, , 所以曲线是凸的.
例2. 判断曲线的凹凸性.
解: 因为 , . 令 得.
当时, , 所以曲线在内为凸的;
当时,, 所以曲线在内为凹的.
例3. 求曲线的拐点.
解: , ，令, 得.
因为当时,; 当时, , 所以点(, )是曲线的拐点.
例4. 求曲线的拐点及凹、凸的区间.
解: (1)函数的定义域为;
(2) ,;
(3)解方程, 得, ;
(4)列表判断:
(-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥)
f ¢¢(x) + 0 - 0 +
È 1 Ç 11/27 È

在区间和上曲线是凹的, 在区间上曲线是凸的. 点 和是曲线的拐点.
例5 问曲线是否有拐点？
解 , .
当时, , 在区间内曲线是凹的, 因此曲线无拐点.
例6. 求曲线的拐点.
解 (1)函数的定义域为;
(2) , ;
(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ;
(4)判断: 当时,; 当时, .
因此, 点是曲线的拐点.

讲解

讲解
启发

环节、时间
授课内容
教学方法
课后作业
（10分钟）
课堂小结：
曲线的弯曲方向——曲线的凹凸性;凹凸性的判定.
改变弯曲方向的点——拐点;拐点的求法1, 2.

布置作业：
P75 1、（2）（4）；2、（2）（4）；
教学反思

板书设计
课程导入：

单调性、极值、最值
新课讲解

介绍本次课程的主要内容

课堂讲解

作业

单调性、极值、最值