直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析.doc

直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析
直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查的重点和热点，涉及交点个数问题、弦的问题、对称问题、最值问题、取值范围问题等，现将其分类总结如下，供同学们复习时参考。
一、直线与圆锥曲线交点问题
研究直线与圆锥曲线交点问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，将交点个数问题转化为一元二次方程解的问题，利用判别式讨论之．
注意：（1）数形结合思想的运用；
（2）在用到直线斜率时注意斜率不存在的情况；
（3)在研究直线与双曲线时注意 直线与双曲线的渐近线平行的情况。
例1　已知集合与集合，当为何值时①M∩N有两个元素．②M∩N只有一个元素．③M∩N没有元素．
　　【解析】：由消去整理
　　　　若即，则=
　　　　①当即且时，M∩N有两个元素．
　　　　②当即时，M∩N只有一个元素．
　　　　③当即或时，M∩N没有元素．
若即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，即 M∩N只有一个元素．
综上所述
当且时，M∩N有两个元素．
当或 时，M∩N只有一个元素．
当或时，M∩N没有元素
【评析】　本题研究的是直线与圆锥曲线交点个数问题，将其转化为直线方程与圆锥曲线方程联立组成的方程组解的个数问题，注意数形结合和特殊情况。
二、圆锥曲线上点关于直线对称问题
这类问题通常，先设出对称点的坐标，写出过对称点的直线方程，与圆锥曲线方程联立化为一元二次方程，利用根与系数关系和中点公式，求出对称点的中点坐标，利用对称点的中点在直线上，对称点连线与对称轴垂直解题。
例2已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
A.3 B.4 C.3 D.4
【解析】：设直线的方程为，，由，得
由韦达定理知
∴的中点，又∵在直线上
∴解得，
∴，∴，，
由弦长公式．
故选C
【评析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．
三、参数的取值范围问题
这类问题有两种方法，（1）根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式(组），通过解不等式组求出参数的范围；（2）将所讨论的参数表示为关于另一个参数的函数问题，用求函数值域的方法求解。
例3 设、分别是椭圆的左、右焦点，过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
【解析】：显然直线不满足题设条件，可设直线：，，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
【评析】为了求参数的取值范围，用的是函数法．
四、直线与圆锥曲线中的最值问题
解决这类问题，通常结合图形，转化为函数的最值问题，用求函数的最值的方法求解，注意函数的定义域和直线斜率不存在的情况。
例4 已知椭圆C: ，直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
【解析】： 设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．

．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值
【评析】本题是将其转化为关于直线斜率的函数问题，利用均值不等式求最值。
五、直线与圆锥曲线位置关系中的弦的问题
对弦长问题，将其化为一元二次方程，运用韦达定理与弦长公式解之；弦的中点问题或中点轨迹问题 常用参数法或平方差法处理之。
例5已知双曲线，求过点M（3，1）的弦的中点轨迹方程。
【解析】：设过M（3，1）的弦的中点,弦的端点坐标为A，B
∴ ① ② ③ ④ ①-②得
当 时，===，=
又∵A，B，M，P共线， ∴=
即=，化简得
当 时，P（3，0）也适合
∴过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程为
【评析】本题是双曲线的弦的中点的轨迹问题，用的是平方差法，本题也可用参数法。
练习：
1、已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A） （B） （C） （D）
2、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )

3 、斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
A 2 B C D
4、抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是
A,(0,0) B, C, D,
5、经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点．
（１） 线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；
（２） 直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围．
6、已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p
(1)求a的取值范围
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值
7、已知倾斜角为的直线过点，若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值．
答案1、C 2、C 3、C 4、C
5、　(1)　设A(直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入得
　　　　 kx-(2k+4)x+k=0．
设M(x ,y)，则

∴点M的坐标为(．
于是消去k，可得M的轨迹方程为．
(2) 由于
d=
所以
即 0＜＜,　　得
0＜,
即 或
故实数的取值范围为 ．
6、(1)设直线l的方程为 y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p ∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2，又∵p＞0,∴a≤－
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x==p
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),
从而N点坐标为(a+2p,0），点N到AB的距离为
从而S△NAB=
当a有最大值－时，S有最大值为p2
7、解：由题意易知，直线的方程为，
由方程组得
设两个交点分别为，
则，因为的中点坐标为，
所以，即，得．