数列与不等式填空题.doc

高三数学献题----数列与不等式
命题人：马晓燕 做题人：明建军
1、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．
2、已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014＝________.

3、已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a2 015＝________.

4、数列{an}的前n项和Sn满足2SnSn－1＝an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________．

5、数列{an}，{bn}满足an＝ln n，bn＝，则数列{an·bn}中第________项最大．

6、已知t是正实数，如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________．

7、已知不等式组表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k的值为________．

8、已知正实数满足，则的最大值为________．

9、已知为正实数，且，则的最小值为________．

10、若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是________．
高三数学献题----数列与不等式
命题人：马晓燕 做题人：明建军
1、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．
解　①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．
②当q≠1时，由S3＋S6＝S9 得＋＝
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.
答案　1或－1
2、已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014＝________.
答案　2 010
解析　由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)， ∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.
∵2 014＝6×335＋4， ∴S2 014＝S4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.
3、已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a2 015＝________.
答案　2 014
解析　因为f(x)＝log2＋1，所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2.
所以f()＋f()＝2，f()＋f()＝2，…，f()＋f()＝2，
由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1，所以a2 015＝2 015－1＝2 014.
4、数列{an}的前n项和Sn满足2SnSn－1＝an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，则2SnSn－1＝Sn－Sn－1，即－＝－2，
又＝＝1，故{}是首项为1，公差为－2的等差数列，
则＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
验证a1＝1不满足，
故所求通项公式an＝
5、数列{an}，{bn}满足an＝ln n，bn＝，则数列{an·bn}中第________项最大．
答案　3
解析　设函数f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.
分析知函数f(x)在(0，e]上是增函数，在[e，＋∞)上是减函数，
又f(2)＝ln 2＝ln <f(3)＝ln 3＝ln ，
所以an·bn＝ln n(n∈N*)在n＝3时取得最大值，
即数列{an·bn}中第3项最大．
6、已知t是正实数，如果不等式组表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________．
答案　2＋2

解析　画出不等式组表示的平面区域，当t是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t，则两直角边长|AB|＝|OA|＝t，所以＝1，求得t＝＝2＋2，即tmin＝2＋2.
7、已知不等式组表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k的值为________．
答案　1

解析　依题意作图，如图所示，要使平面区域Ω的面积最小，即使S△OAD＋S△OBC最小，又直线x＋y＋2＝0与y轴的交点的坐标为A(0，－2)，直线x＋y＋2＝0与y＝kx的交点的坐标为D(－，－)，直线y＝kx与x＝1的交点的坐标为C(1，k)，k≥0，
所以S△OAD＋S△OBC＝|OA|·|xD|＋|OB|·|yC|＝＋·k＝＋＋－＝＋－≥2－＝，当且仅当＝时取等号，即k＝1或k＝－3(舍去)．
所以满足条件的k的值为1.
8、已知正实数满足，则的最大值为________．
9、已知为正实数，且，则的最小值为________．
10、若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】