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数列的综合应用
1．等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.
2 ．函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值集合是

3．在等差数列中，表示其前项，若，，则的取值范围是 （4，）
4.已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_____________
5.已知奇函数是定义在R上的增函数,数列是一个公差为2的等差数列满足,则的值
6.等差数列中，已知，，则的取值范围是 .
7．如图,互不相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.

8.设函数，是公差为的等差数列，，则

一、 典型例题
例1 如图，、、…、（）是曲线C：（）上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．
（Ⅰ）写出、、；
（Ⅱ）求出点（）的横坐标关于n的表达式；
（Ⅲ）设，若对任意的正整数n，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）与的交点为，,故
与的交点为，故,
与的交点为,故
(2)第n个正三角形为（点即为原点），它的边长为，则，其中
，于是的坐标为，∴，
，，两式相减
， 是公差和首项都是2等差数列，，第n个正三角形的边长为
，关于n的表达式。
（3）

是关于n递减数列，的最大值
不等式恒成立，，，，，
，。

例2 设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
【答案】(1) 解: ,.
当时,
又,
(2)解: ,.
①
当时, ②
由① — ②,得

数列是以首项为,公差为1的等差数列.

当时,上式显然成立.
(3)证明:由(2)知,
①当时,,原不等式成立.
②当时, ,原不等式亦成立.
③当时,

当时原不等式亦成立.
综上,对一切正整数,有.

例3在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?
(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放层,则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于根，从而由且得，当时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；
（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放层,则从上到下每层圆钢根数是以为首项、1为公差的等差数列，从而，即，因与的奇偶性不同，所以与的奇偶性也不同，且，从而由上述等式得：
或或或，所以共有4种方案可供选择。
（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：
若，则，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400 cm，上下底之长为280 cm和680cm，从而梯形之高为 cm，而所以符合条件；
若，则，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm和640cm，从而梯形之高为 cm，显然大于4m，不合条件，舍去，综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地。

例4 设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=3,4,…,）阶“期待数列”：
① ；② .
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（2）若某2k+1()阶“期待数列” 是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为.
试证：； ②
解：（1）数列为三阶期待数列；
数列为四阶期待数列；
（2）设等差数列的公差为，
，
所以，
即，
当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾，
当d>0时,据期待数列的条件①②得：

由得，

当d<0时，
同理可得
由得，

（3）（）当k=n时，显然成立；
当k<n时，据条件①得
，
即，

,

二、 巩固提升
1.已知公差不为的正项等差数列中，为其前项和，若，，也成等差数列，，则等于___ ___ 30
2.等差数列中，已知，，公差，则的最大值为 7
3．下面是关于公差的等差数列的四个命题:

其中的真命题为
4．已知数列的前项和，且的最大值为8，则
．
5．已知的内角的对边成等比数列，则的取值范围为 。

6.已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值________0(填“>”、“<”之一)．
答案：>
7．观察下图：
第一行：1
第二行：2 3 4
第三行：3 4 5 6 7
第四行：4 5 6 7 8 9 10
… …则第 行的各数之和等于．
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8. 已知等比数列的公比为，记，，，则以下结论一定正确的是
（1）. 数列为等差数列，公差为 　（2）. 数列为等比数列，公比为
（3）. 数列为等比数列，公比为 　（4）. 数列为等比数列，公比为
【答案】 （3）
9．数列满足，，且 =2，则的最小值为 ．
10．在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数 的值为_____________.12
11. 设数列的前ｎ项和为，已知为常数，），　
（１） 求ｐ，ｑ的值；
（２） 求数列的通项公式；
（３） 是否存在正整数ｍ，ｎ，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（ｍ，ｎ）；若不存在，说明理由。

解：由题意，知即解之得
⑵由⑴知，，①
当时，，②
①②得，，
又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以．
⑶由⑵得，，由，得
，即，
即，因为，所以，
所以，且，
因为，所以或或．
当时，由得，，所以；
当时，由得，，所以或；
当时，由得，，所以或或，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：
．
12.数列的首项为，前项和为，且，设，
(1) 求数列的通项公式；
(2) 当时若均有，求的取值范围；
(3) 当时，是否存在正数数组，同时满足：①成等差数列；②为等比数列，若存在，求出所有满足题设的数组，若不存在，说明理由。
解：（1）
（2）时，
时，只要，不成立，
时，
（ⅰ）成立，从而成立
（ⅱ）即，，对成立，所以
即，
综上，
（2）存在唯一正数组，证明如下：
时，

要使得为等比数列，则
又成等差数列，即，所以，则
13.已知在直角坐标系中，，其中数列都是递增数列。
（1）若，判断直线与是否平行；
（2）若数列都是正项等差数列，设四边形的面积为.
求证：也是等差数列；
（3）若,，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数。
解 ⑴由题意、、、.
∴，.
，∴与不平行.
⑵、为等差数列，设它们的公差分别为和，则，
由题意.
∴
，
∴，∴是与无关的常数，
∴数列是等差数列.
⑶、，∴.
又数列前项依次递减，
∴对成立，即对成立.
又数列是递增数列，∴，只要时，即即可.
又，联立不等式，作出可行域（如右图所示），易得或.
当时，，即，有解；
当时，，即，有解.∴数列共有个.
14．已知数列是等差数列，，数列是等比数列，．
（1）若．求数列和的通项公式；
（2）若是正整数且成等比数列，求的最大值．
解：（1）由题得，所以，从而等差数列的公差，所以，从而，所以．
（2）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，，，.
因为成等比数列，所以．
设，，，
则，整理得，.
解得（舍去负根）.
，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，，
当且仅当且时，及取最大值.
从而最大的，
所以，最大的

15已知直角的三边长，满足
（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求c的最小值.
（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，求（）.
（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.
解：（1）是等差数列，∴，即.
所，c的最小值为；
（2）设的公差为，则， .
设三角形的三边长为，面积，，
当为偶数时，
;
当为奇数时，;
综上，.
（3）证明：因为成等比数列，.
由于为直角三角形的三边长，知，，
又,得.
于是
.
, 则有.
故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.