二项式定理hh.doc

2013—14高三数学（理系列1：学案 主备人：姜顺根 审核人：裴贤喜 2014年3月5 日 总第75份
第三节 二项式定理
一．考点梳理
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数 (r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即展开式的第 项；Tr＋1＝ .
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为 .
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 ，即a与b的指数的和为 .
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减 直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 直到n.(4)二项式的系数从 ，C，一直到C， .
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即 .
(2)增减性与最大值：二项式系数C，当r＜时，二项式系数是递 的；当r＞时，二项式系数是递 的．当n是偶数时，中间的一项的系数 取得最大值．
当n是奇数时，中间两项的系数 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于 ，即 .
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 奇数项的二项式系数的和，即 .
4. 二项式的项数与项
(1)二项式的展开式共有n＋1项，Can－rbr是第r＋1项．即r＋1是项数， Can－rbr是项．
(2)通项是Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，……，n)．其中含有Tr＋1，a，b，n，r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．
(3)一个区别
在Tr＋1＝Can－rbr中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；Tr＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，Tr＋1＝C2n－r3rxn－ryr，其中C2n－r3r就是Tr＋1项的系数．
二．自我检测
1．(2011·福建卷改编)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于________．
2．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．
4．(2011·重庆卷改编)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝______.
5．(2012·上海卷)在6的二项式展开式中，常数项等于________．
三．例题分析
考向一　求二项展开式中指定项或指定项系数
【例1】 (2012·扬州二模)已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．

【训练1】 在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．

考向二　二项式定理中的赋值
【例2】 在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

【训练2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

考向三　二项式定理的应用
【例3】 (2012·苏北四市调研(二))已知an＝(1＋)n(n∈N*)．
(1)若an＝a＋b(a，b∈Z)，求证：a是奇数；
(2)求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an＝＋.

【训练3】 (2012·苏锡常镇四市调研)(1)当k∈N*时，求证：(1＋)k＋(1－)k是正整数；
(2)试证明大于(1＋)2n的最小整数能被2n＋1整除(n∈N*)．

四．练习反馈
1．(2011·陕西卷改编)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是________．
2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为________．
3．(2011·天津改编)在6的二项展开式中，x2的系数为________．
4．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和____．
5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．
6．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于____．
7.(x2＋2)5的展开式的常数项是________．
8．已知n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

9.把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2i－1个正整数，设aij(i，j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
(1)求a69的值；
(2)用i，j表示aij；
(3)记An＝a11＋a22＋a33＋…＋ann(n∈N*)，求证：当n≥4时，An>n2＋C.
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