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第二辑热点关注:
从“阿波罗尼斯圆”说起
江苏省启东中学 张杰

众所周知,到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线,那么到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是什么呢?它就是“阿波罗尼斯圆”.用数学语言叙述为:在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是个圆,这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。此定理的证明可参考椭圆与双曲线的证明方法得之.根据这个定理可证明三角形的中线长公式:设三角形的三边长分别为,中线长分别为,则有,
,,此结论也可由余弦定理证之.
有关“阿波罗尼斯圆”的问题在近年高考中已成为热点问题,如2008年江苏试题:满足条件AB=2,的的面积的最大值是 。
简解: 以AB所在直线为x轴, 中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点A(-1,0),B(1,0),
设点,则由条件得,化简为
其中,从而,的面积的最大值是.
还有在各地的模考中也屡见不鲜,下面就2011年南通市一模试题作一分析:
题目: 已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ．
A
y

C

B O D x
图1
解题分析：本题条件是等腰三角形腰上的中线长为定值,若将此中线两端点作为定点,则等腰三角形顶角顶点到此两定点距离之比为2(或),所以它的轨迹就是“阿波罗尼斯圆”.由此得到约束条件,求解问题.
解法一. 如图1示，以中线BD所在直线为x轴，中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点B坐标为,又设,则因点D是AC中点,得,其中,由AC=AB得
,化简得,其中
从而,,而面积,所以当时,.
D
y
A
B O C x
图2
解法二. 如图2所示，以底BC所在直线为x轴，中点O为坐标原点，建立直角坐标系，设，，（） ，则腰AC中点，由BD=得
，由基本不等式得
，从而，
因面积为,所以最大值为2.
解法三.设等腰三角形ABC的底BC长为,高AO=,则腰AC=AB=,由三角形中线长公式
,得,以下同法二.
解法四. 如图3所示，记等腰三角形ABC的底边BC上的中线AO与腰AC上的中线BD相交于点G，则G为重心，得,
由的面积,
G
D
A
B O C
图3
得面积,所以最大值为2.
解法五.设顶角，两腰之长为，D为腰AC中点，则在三角形ABD内利用余弦定理，得．
则 ．
整理得，化为，
从而由,得，所以最大值为2.
解法六.由法五得,则由得,当时,有最大值,此时,得.
解法七. 由法五得,从而,
于是,所以当时, .
解法八. 如图3所示，记等腰三角形ABC的底边BC上的高为AO,
则,
从而,由基本不等式得,
所以面积,即最大值是2.
点评: 上述解法中,前三种是利用“阿波罗尼斯圆”的性质求解的, 解法八利用了向量法,其本质仍是“阿波罗尼斯圆”的推论,而解法四到七,是由于所求问题是三角形的面积问题,显然可用解三角形的知识求之,其中也考查了基本不等式及函数最值问题,可谓是“在知识的交汇处命题”的典型试题．
即时练习:(2011年同济等九所高校自主招生试题)在△ABC中,AB=2AC,AD是的平分线,且. (1)求的取值范围;
(2)若△ABC的面积为1,求为何值时,BC最短.
解析: (1) 以BC所在直线为x轴, 中点O为坐标原点，建立直角坐标系，不妨设点,其中,点,
则由条件得,化简为
,其中, 由角平分线定理得,从而由
得,因,故;
(2) 由得,因,故,即,
BC的最小值为,此时,从而.
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