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第三课时 等差数列(一)
教学目标：
明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.
教学重点：
1.等差数列的概念的理解与掌握.
2.等差数列的通项公式的推导及应用.
教学难点：
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子
Ⅱ.讲授新课
1，2，3，4，5，6； ①
10，8，6，4，2，…； ②
21，21，22，22，23，23，24，24，25 ③
2，2，2，2，2，… ④
首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）
数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：an＝n(1≤n≤6).
数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：an＝12－2n(n≥1).
数列③是一递增数列，后一项总比前一项多，其通项公式为：an＝20＋n（1≤n≤9)
数列④的通项公式为：an＝2(n≥1)是一常数数列.
综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？
它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.
也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.
1.定义
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，，0.
2.等差数列的通项公式
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：
(n－1)个等式
若将这n－1个等式左右两边分别相加，则可得：an－a1＝(n－1)d 即：an＝a1＋(n－1)d
当n＝1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N*时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式.
或者由定义可得：a2－a1＝d即：a2＝a1＋d；a3－a2＝d即：a3＝a2＋d＝a1＋2d；a4－a3＝d即：a4＝a3＋d＝a1＋3d；……；an－an－1＝d，即：an＝an－1＋d＝a1＋(n－1)d
看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.
如数列①：an＝1＋(n－1)×1＝n(1≤n≤6),
数列②：an＝10＋(n－1)×(－2)＝12－2n(n≥1),
数列③：an＝22＋(n－1) ＝21－n (n≥1),
数列④：an＝2＋(n－1)×0＝2(n≥1)
由通项公式可类推得：am＝a1＋(m－1)d，即：a1＝am－(m－1)d，则：
an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
如：a5＝a4＋d＝a3＋2d＝a2＋3d＝a1＋4d
3.例题讲解
［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.
分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.
解：由题意可知：a1＝8，d＝5－8＝2－5＝－3
∴该数列通项公式为：an＝8＋(n－1)×(－3)，即：an＝11－3n(n≥1)，当n＝20时，则a20＝11－3×20＝－49.
答案：这个数列的第20项为－49.
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?
分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an＝－401.
解：由题意可知：a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4,
∴数列通项公式为：an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
令－401＝－4n－1，解之得n＝100.
∴－401是这个数列的第100项.
［例2］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
解：由题意可知，
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝－2，d＝3.
即这个等差数列的首项是－2，公差是3.
［例3］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.
思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.
解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得：
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝4，d＝.
∴这个数列的通项公式为：an＝4＋×(n－1)，即：an＝n＋.
∴a25＝×25＋＝40.
思路二：若注意到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式an＝am＋(n－m)d.这样可简化运算.
解法二：由题意可知：a15＝a5＋10d，即25＝10＋10d,
∴10d＝15.
又∵a25＝a15＋10d，∴a25＝25＋15＝40.
思路三：若注意到在等差数列{an}中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.
解法三：在等差数列{an}中，a5，a15，a25成等差数列
∴2a15＝a5＋a25，即a25＝2a15－a5,
∴a25＝2×25－10＝40.
［例4］已知等差数列{an}中，a15＝33，a45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.
分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义.
解法一：由通项公式，
知 得：
由217＝－23＋4(n－1)，得n＝61.
解法二：由等差数列性质，得a45－a15＝30d＝153－33，即d＝4
又an＝a15＋(n－15)d，217＝33＋4(n－15)，解得n＝61.
解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点
由于P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上.
故有＝，解得n＝61.
评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.
［例5］已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值.
解法一：利用通项公式，设数列{an}的首项为a1,公差为d
则 解之得
a15＝a1＋14d＝＋14×(－)＝－
解法二：利用等差数列的性质a7＝a3＋4d把已知条件代入,得：d＝－
∴a15＝a7＋(15－7)d＝－.
解法三：∵{an}为等差数列，
∴a3,a7,a11,a15……也成等差数列
由a3＝，a7＝－
知上述数列首项为，公差为－2
∴a15＝＋(3－1)·（－2）＝－
［例6］两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？
分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{an}，这样问题就转化为一个研究数列{an}的项数问题了.
解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1=11,
又数列5，8，11，……的通项公式为an＝3n＋2，数列3，7，11，……的通项公式为bn＝4n－1.
∴数列{cn}为等差数列，且d＝12.∴cn＝12n－1
又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1＜302
得n≤25，可见已知两数列共有25个相同的项.
解法二：∵an＝3n＋2，bn＝4n－1，设an＝bm
则有3n＋2＝4m－1(n，m∈N*)，即n＝m－1(n，m∈N*)
要使n为正整数，m必须是3的倍数.
设m＝3k(k∈N*)，代入前式得n＝4k－1
又∵1≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，解得1≤k≤25
∴共有25个相同的项.
［例7］一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由 得－4.6＜d＜－ 答案：－4
Ⅲ.课堂练习
课本P34练习1，2，3
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：a1＝3，d＝7－3＝4.
∴该数列的通项公式为：an＝3＋(n－1)×4，即an＝4n－1(n≥1，n∈N*)
∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
解：根据题意可知：a1＝10，d＝8－10＝－2.
∴该数列的通项公式为：an＝10＋(n－1)×(－2)，即：an＝－2n＋12，
∴a20＝－2×20＋12＝－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.
解：根据题意可得：a1＝2，d＝9－2＝7.
∴此数列通项公式为：an＝2＋(n－1)×7＝7n－5.
令7n－5＝100，解得：n＝15,
∴100是这个数列的第15项.
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：a1＝0，d＝－3
∴此数列的通项公式为：an＝－n＋
令－n＋＝－20，解得n＝
因为－n＋＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
2.在等差数列{an}中，（1）已知a4＝10，a7＝19，求a1与d；
(2)已知a3＝9，a9＝3，求a12.
解：（1）由题意得： 解之得：
(2)解法一：由题意可得： 解之得：
∴该数列的通项公式为：an＝11＋(n－1)×(－1)＝12－n
∴a12＝0
解法二：由已知得：a9＝a3＋6d，即：3＝9＋6d
∴d＝－1
又∵a12＝a9＋3d，∴a12＝3＋3×(－1)＝0.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an－1＝d(n≥2).其次，要会推导等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an＝am＋(n－m)d的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P39习题 1，2，3，4

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