典型例析：圆.doc

典型例析
例1.（1）如图7.1-1.OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD
的弦心距，若OE=OF，则 （只需写出一个正确的结论）.
（2）如图7.1-2.已知，AB为⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm,则OD= .
[特色] 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.
[解答]（1）AB=CD或 AB=CD或AD＝BC, 直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.
（2）由三角形的中位线定理知OD=BC
[拓展]复习中要加强对圆的有关性质的理解、运用.
例2.（1）下列命题中真命题是（ ）.
A. 平分弦的直径垂直于弦 B.圆的半径垂直于圆的切线 C.到圆心的距离大于半径的点在圆内 D.等弧所对的圆心角相等
（2）如图7.1-3.AB是⊙O的直径，CD是⊙O弦，若AB=10cm,CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（ ）.
A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm
(3)已知如图7.1-4圆心角∠BOC=100，则圆周角∠BAC的度数是（ ）.
A. 50 B.100 C.130 D.200
[特色]着眼于基本知识的考查和辨析思维的评价.
[解答] （1） D （考查对基本性质的理解）.
(2) D (过O作OM⊥CD，连结OC，由垂径定理得CM=CD=4，由勾股定理得OM=3，而AB两点到CD的距离和等于OM的2倍)
(3) A (由圆周角定理可得)
[拓展] 第（2）题中，涉及圆的弦一般作弦心距.
例3.圆内接四边形ABCD，∠A、∠B、∠C的度数的比是1∶2∶3，则这个四边形的最大角是 .
[特色]运用圆内接四边形的性质进行简单计算.
[解答]设A=x，则∠B=2x,∠C=3x . ∵∠A+∠C=180， ∴x+3x=180， ∴ x=45.∴∠A=45， ∠ B=90， ∠C=135， ∠ D=90.
∴ 最大角为135.
[拓展]此题着眼于基本性质、基本方法的考查.设未知数，列方程求解是解此类题的基本方法.
例4.已知，如图7.1-5 BC为半圆O的直径，F是半圆上异于BC的点，A是BF的中点，AD⊥BC于点D，BF交AD于点E.
（1） 求证：BE•BF=BD•BC
（2） 试比较线段BD与AE的大小，并说明道理.
[特色] 此题是教材中的习题变形而来，它立意于考查分析、观察、比较、归纳等能力.
[解答] （1）连结FC，则BF⊥FC.
在△BDF和△BCF中，
∵∠BFC=∠EDB=90 ， ∠ FBC=∠EBD，
∴△BDE∽△BFC， ∴ BE∶BC=BD∶BF.
即 BF•BE=BD•BC.
（2） AE>BD , 连结AC、AB 则∠BAC=90.
∵, ∴∠1=∠2.
又∵∠2+∠ABC=90， ∠3+∠ABD=90，
∴∠2=∠3， ∠1=∠3， ∴ AE=BE.
在Rt△EBD中， BE>BD， ∴AE>BD.
[拓展] 若AC交BE于G，请想一想，在什么情况下线段BE、BG、FG有相等关系？
例5.如图7.4-1，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G.
（1）求⊙O的半径R；
（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、90三者之间的关系式（只需写出一个），并证明你的结论.
[特色]此题第二问设计为开放性问题，它立意考查学生分析、观察、比较、归纳能力.
[解答] （1）连结OE，则OE⊥AD.
∵四边形是矩形， ∴∠D=90, OE∥CD,
∴AC===10.
∵△AOE∽△ACD， ∴ OE∶CD=AO∶AC，
∴ R∶6=(10-R) ∶10，
解之得： R=.
（2）∵四边形是圆的内接四边形，∴∠EFB=∠EGC， ∵∠EGC=90+β，
∴α =90+β 或 ∵ β<90， α =∠EGC>90， ∴ β < 90< α.
[拓展]比较角的大小时，要善于发现角与角之间的关系，判断角是锐角还是直角、钝角.

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