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二次根式巧算
二次根式的巧算
【内容综述】
　　一般地，式子叫做二次根式。在解决有关根式的化简与求值问题时，需要同学们熟练地掌握根式的性质、运算法则等知识。另外，特别要掌握好如下的二个重要性质：
　　（1）。
　　（2）

【要点讲解】
　　在这一部分中，通过例题的解答，介绍有关二次根式的化简、求值、分母有理化等方面的知识，同学们要认真体会其中的解题方法和技巧。
　　★★例1、化简.
　　思路 通过分类讨论去掉根号。
　　解原式

　　例2、化简
　　思路 用待定系数法把11-6表示成一个完全平方式。
　　解 设11-6 （
　　则
　　所以
　　解得或

　　说明 本题还可用配方法来化简，请读者自己来试一试。
　　★★★例3、 分母有理化 。

★★★例4 化简
　　思路 对分子进行重新的分解组合，使之与分母有公共的因式。
　　解法1 原式=
　　　　　　　＝

　　解法2 原式

说明 对于这种分式型的根式问题的化简，常用的思路就是对于分子进行巧妙地分解、组合，使之出现分母中的形式，达到化简的目的。
　　★★★例5 若。
思路 先化简已知条件的复合二次根式，和所求化数式，然后再求值。

说明 本题通过变形已知条件得到，然后利用这个条件进行整体代换，大大简化了运算过程。这种解题策略在条件求值问题中经常运用。

　　★★★例6 设的整数部分为a，小数部分为b，求a-b（2b+1）的值。

　★★★★例7 化简

　　由
　　当时,

　　当n<-2（除n= -2,因它使分母为零）时,

　　= -,
　　,
∴ 　　
　 　=
　　 =

　　★★★★例8 设
　　且 ,
　　求的值。
　　解： 设显然k≠0，则

　　由已知得

　　即 　　

　　∴
　　由已知得
　　∴
说明：当题目中的变量较多时，常常引入一个参数，使得每个变量都用这个参数表示出来，这样便于化简。

★★★★例9
设。则与S最接近的整数是多少？
思路：所求式的各项的特征都相同，故可先研究每项的一般形式的结构，即所谓“通项的结构”。
　　解：当n为整数时，有

　　　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　　　=
　　　　　　　　　　　=

　　∴

　　故与X最接近的整数是1999。
　　说明：如果所求式子各项的特征相同时，一般要先研究清楚通项的特点，然后再具体到每一项，这是从一般到特殊的思维方法。

A级
　　★★1、___________
　　★★★2、若则_____________
　　★★★3、若0<a<1, 则可化简为_________
　　★★★4、设，求的值。
B级
　　★★★5、若[a]表示实数a的整数部分，则= 　　
　　★★★6、分母有理化，___________
　　★★★7、自然数满足。则 _________
　　★★★8、已知化简

参考答案
A 级
　　1、-2
　　提示：原式=
　　 　　　　 =
　　2、7
　　提示：
　　∴
　　∴
　　3、
　　提示：原式=
　　，∴ ，∴ 原式=
　　4、1152
　　提示：由条件知所以从而，
　　原式=
　　　　=
　　　　=
　　5、2
提示：
　　　　　　　　　　=
　　6、
提示：原式=
　　　　　=
　　　　　=
　　7、10或14
　　提示：已知条件的两边平方得，
　　又由题设知是自然数，且或
　　当时，这时当时，，
　　这时。
　　8、或
由得. 所以
因为 所以
若a>0>b, 原式= -ab；
若a<0<b, 原式= ab。

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