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线性回归方程与独立性检验
1、独立性检验
(1)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
2×2列联表
构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有无关系”．
2、 线性回归方程
(1)样本点的中心：
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心，线性回归直线一定过样本点的中心(，)．
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，则有
(3)相关系数：
①样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数：
r＝
②相关系数的正负、大小与相关性的关系：
当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
例1、某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2) (能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

例2、某市地铁即将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下； 【导学号：79170335】
月收入(单位：百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
赞成定价者人数
1
2
3
5
3
4
认为价格偏高者人数
4
8
12
5
2
1
(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．

月收入不低于
55百元的人数
月收入低于55
百元的人数
总计
认为价格偏高者

赞成定价者

总计

附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635

例3、 (2015重庆,文)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t 
1
2
3
4
5
储蓄存款y (千亿元)
5
6
7
8
10
（1） 求y关于t的回归方程

例4、(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，w]＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .

1、某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．

2、由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题一讲题一再刷题”的模式，效果不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型一刷题一检测效果”的模式，并记录了某学生的记题型时间（单位：）与检测效果的数据如下表所示.
记题型时间
1
2
3
4
5
6
7
检测效果
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）据统计表明，与之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明（若，则认为与有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；
（2）建立关于的回归方程，并预测该学生记题型的检测效果；
（3）在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率.
参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，
，相关系数
参考数据：，，，
试卷第6页，总6页

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