动中有静变中有定.doc

动中有静 变中有定
——浅析一元二次方程在运动变化问题中的应用
(江苏省姜堰市第四中学 石存余 邮编:225500 )
运动变化问题是近年中考的热点问题，也是难点问题。解决这类问题，应该在运动的过程中寻求不变的特征图形，再列出相应的关系式或方程。使问题获得解决。
例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）当DE经过点C 时，请求出t的值．
分析：第（1）问是本题的一个引入问题，也是帮助同学们审题的一步。
因此，只要找到动点的特定位置，并画出图形，会使问题轻松解决。
此即动中有静。
第（2）问是一元二次方程在运动变化问题中的具体应用，抓住
当DE经过点C 时这一特定时刻的确定图形，找出数量关系列出方程
便可解决问题.此即变中有定
A
C
B
P
Q
E
D
图1

A
C
)
B
P
Q
D
图2
E
)
F

解：（1）如图2当t = 2时CP=2, AP =1，过点Q作QF垂直于AC,
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图3
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图4
G
易求得QF=；

（2）或．
方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图3．
显然QC=PC=t，
．
由，得，解得．
方法二、由，得，进而可得
，得，∴．∴．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图4．
，解得
∴或
点评：运动变化问题，除了动点以外，还有平移、旋转、轴对称等。其中关系错综复杂，但只要我们冷静分析，找准特征图形中的数量关系，再列出等式就能化繁为易。下面的问题相信同学们一定能自己解决！
如图所示，四边形是矩形，，。动点P、Q分别同时从A、C出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，Q以2cm/s的速度向B移动。
⑴P、Q两点从出发开始几秒后，四边形ABQP的面积是矩形面积的？何时四边形ABQP的面积最大，最大是多少？
⑵P、Q从开始出发几秒后，？

答案：⑴秒，当出发后，面积最大为64平方厘米 ⑵0.8秒