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第二章基础题
一、选择题
1.已知集合A={x|x2-x-2<0},集合B是函数y=lg(1-x2)的定义域,则下列结论正确的是(　　)
A.A=B　　 B.AB　　 C.BA　　 D.A∩B=∅
2.下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是
(　　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=2-x-2x D.f(x)=-tanx
3.下列命题中,真命题是(　　)
A.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数
B.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数
C.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
4.已知在函数y=|x|(x∈[-1,1])的图象上有一点P(t,|t|),该函数的图象与x轴,直线x=-1及x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则S与t的函数关系可表示为(　　)

5.设p：f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,q：m≥,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)=,命题p：∀x∈[0,+∞),f(x)≤1,则(　　)
A.p是假命题,p：∃x0∈[0,+∞),f(x0)>1
B.p是假命题,p：∀x∈[0,+∞),f(x)≥1
C.p是真命题,p：∃x0∈[0,+∞),f(x0)>1
D.p是真命题,p：∀x∈[0,+∞),f(x)≥1
7.(2014·武汉模拟)已知函数f(2x+1)的定义域为,则f(x)的定义域为
(　　)
A. B.
C.(-3,2) D.(-3,3)
8.(2014·北京模拟)已知函数f(x)=则方程f(x)=1的解是
(　　)
A.或2 B.或3
C.或4 D.±或4
9.已知函数f(x)=lg|x|,x∈R且x≠0,则f(x)是(　　)
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递增
C.奇函数且在(0,+∞)上单调递减
D.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)
A.[1,2] B.
C. D.(0,2]
11.函数f(x)=在(-∞,+∞)上单调,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-]∪(1,]
B.[-,-1)∪[,+∞)
C.(1,]
D.[,+∞)
12.设a=,b=,c=log3,则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a>c>b
13.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是
(　　)
A.0 B.2 C.- D.-3
14.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是(　　)
A.-1 B.2 C.3 D.-1或2
15.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
16.曲线y=x3+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　)
A. B. C. D.
17.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
18.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x),若2<a<4,则(　　)
A.f(2a)<f(3)<f(log2a)
B.f(3)<f(log2a)<f(2a)
C.f(log2a)<f(3)<f(2a)
D.f(log2a)<f(2a)<f(3)
19.已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,其图象是一条连续不断的曲线,且满足下列条件：
①f(x)的值域为G,且G⊆[a,b];②对任意不同的x,y∈[a,b],都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.那么,关于x的方程f(x)=x在[a,b]上根的情况是(　　)
A.没有实数根
B.有且只有一个实数根
C.恰有两个不同的实数根
D.有无数个不同的实数根
20.对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三个条件：
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,
则称函数f(x)为理想函数.
下面有三个命题：
(1)若函数f(x)为理想函数,则f(0)=0.
(2)函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数.
(3)若函数f(x)是理想函数,假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,则f(x0)=x0.
其中正确的命题个数有(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
21.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2f(2)的值为__________.
22.若函数f(x)=是奇函数,则g(-8)=________.
23.函数y=的定义域为集合A,B=[-1,6),则
A∩B=__________.
24.函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
25.(2014·孝感模拟)已知y=f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且0≤x≤2时,f(x)=x2-2x,则10≤x≤12时,f(x)=__________________
26.若函数y=|log3x|在区间(0,a]上单调递减,则实数a的取值范围为__________.
27.曲线f(x)=x+在x=处的切线方程是__________,在x=x0处的切线与直线y=x和y轴围成三角形的面积为______________.
28.给出下列四个命题：
①函数f(x)=lnx-2+x在区间(1,e)上存在零点;
②若f′(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0处取得极值;
③“a=1”是“函数f(x)=在定义域上是奇函数”的充分不必要条件;
其中正确的命题是__________.
三、解答题
29.已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q：不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题、p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
30.函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)=0,当x>0时,f(x)=lox.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
31.已知函数f(x)=1-(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值.
(2)求函数f(x)的值域.
(3)当x∈[1,+∞)时,tf(x)≤2x-2恒成立,求实数t的取值范围.
32.时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y=+4(x-6)2,其中2<x<6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求m的值.
(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数).试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
33. f(x)=alnx-(a+1)x+x2(a≥0).
(1)若直线l与曲线y=f(x)相切,切点是P(2,0),求直线l的方程.
(2)讨论f(x)的单调性.
34.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数c的最小值.
(3)若过点M(2,m)(m≠2),可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
答案解析
18.C　由f(x)=f(4-x),可知函数关于x=2对称.
由xf′(x)>2f′(x),
得(x-2)f′(x)>0,
所以当x>2时,f′(x)>0,函数递增,
当x<2时,f′(x)<0,函数递减.
当2<a<4,1<log2a<2,22<2a<24,即4<2a<16.
因为f(log2a)=f(4-log2a),
所以2<4-log2a<3,
即2<4-log2a<3<2a,
所以f(4-log2a)<f(3)<f(2a),
即f(log2a)<f(3)<f(2a).
19.B　令g(x)=f(x)-x,x∈[a,b],
则g(a)=f(a)-a≥0,g(b)=f(b)-b≤0,
所以g(a)·g(b)≤0.
又因为不同的x,y∈[a,b],都有<1,
则|f′(x)|<1,
所以g′(x)=f′(x)-1<0,
所以函数g(x)在[a,b]上单调递减,故函数g(x)在[a,b]上只有一个零点,即方程f(x)=x在[a,b]上有且只有一个实数根.
20.D(1)取x1=x2=0,
可得f(0)≥f(0)+f(0),
所以f(0)≤0.
又由条件①f(0)≥0,故f(0)=0.
(2)显然g(x)=2x-1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0也满足条件②g(1)=1.
若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则
g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]
=-1-[(-1)+(-1)]
=--+1
=(-1)(-1)≥0.
即满足条件③,故g(x)是理想函数.
(3)由条件知,任给m,n∈[0,1],
当m<n时,由m<n知n-m∈(0,1],
所以f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥f(m).
若x0<f(x0),则f(x0)≤f(f(x0))=x0,前后矛盾;
若x0>f(x0),则f(x0)≥f(f(x0))=x0,前后矛盾.
所以f(x0)=x0.
31.【解析】(1)因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x).
又f(x)=,
所以=-,
即(a-2)[2a2x+(a-2)ax+2]=0对任意x恒成立,
所以a=2.
(或者利用f(0)=0,求得a=2,再验证是奇函数)
(2)因为f(x)=1-
=1-.
又因为2x>0,所以2x+1>1,
所以0<<2,
-1<1-<1.
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
(3)由意得,当x≥1时,
t≤2x-2,
即t·≤2x-2恒成立,
因为x≥1,所以2x≥2,
所以t≤(x≥1)恒成立,
设u(x)==2x-(x≥1).
下证u(x)在当x≥1时是增函数.
任取x2>x1≥1,
则u(x2)-u(x1)
=--+
=(-)·1+>0,
所以当x≥1时,u(x)是增函数,
所以u(x)min=u(1)=0,
所以t≤u(x)min=u(1)=0,
所以实数t的取值范围为t≤0.
32.【解析】(1)因为x=4时,y=21,
代入关系式y=+4(x-6)2,
得+16=21,
解得m=10.
(2)由(1)可知,套题每日的销售量y=+4(x-6)2,
所以每日销售套题所获得的利润
f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)
=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),
从而f′(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).
令f′(x)=0,得x=,且在上,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;在上,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,
所以当x=≈3.3时,函数f(x)取得最大值,
故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.

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