第十一章全等三角形（人教）.doc

第十一章 全等三角形
一、填空题
(第2题)
1．已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A＝∠A'，∠B＝50°，∠C＝70°，AB＝15 cm，则∠A′＝_______，A′B′＝_______．
2．如图，在△ABC和△DCB中，已知AB＝DC，只要再找出
______＝______或______＝______就可以证明这两个三角形全等．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
(第3题)

(1)若BC＝24，BD∶CD＝5∶3，则点D到AB的距离为__________；
(2)若BD∶CD＝3∶2，点D到AB的距离是8，则BC的长为_____________．
(第4题)
4．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB∶AC＝4∶

3，则S△ABD∶S△ACD＝________．

5．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的____________的交点．
(第7题)
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1 cm，则AC＝_________．
(第8题)
7．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：① AD＝BE；② PQ∥AE；③ AP＝BQ；④ DE＝DP；⑤ ∠AOB＝60°，恒成立的序号有_______个．
8．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠a 的度数为______．

二、选择题
1．不能使△ABC≌△A'B'C′的条件是( )．
A．AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠A＝∠A' B．AB＝A'B'，AC＝A'C'，BC＝B'C'
C．AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠A＝∠A' D．∠A＝∠A'，BC＝B'C'，∠C＝∠C'
(第2题)
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下面给出四个结论：
(1)DA平分∠EDF；
(2)AE＝AF；
(3)AD上的点到B，C两点距离相等；
(4)到AE，AF距离相等的点，到DE，DF的距离也相等．
其中正确的结论有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法正确的是( )．
A．有两组锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C．有两条边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D．有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
4．在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，高AD＝A'D'，则∠B和∠B′的关系为( )．
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．以上皆不对
(第5题)
5．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C ②AC＝A′C ③∠A′CA＝∠B′CB ④AB＝A′B′中，任取三个为已知条件，余下的一个为结论，则正确的结论最多的个数为( )．
A．2 B．3
C．4 D．0
6．在△ABC和△A′B′C′中，①AB＝A′B′ ②BC＝B′C′ ③AC＝A′C′ ④∠A＝∠A′ ⑤∠B＝∠B′ ⑥∠C＝∠C′，不能保证△ABC≌△A′B′C′的一组是( )．
A．①③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②⑤⑥

(第7题)
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转40°到△A′B′C的位置，其中A′，B′ 分别是A，B的对应点，B在A′B′上，CA′ 交AB于D，则∠BDC的度数为( )．
A．40° B．45° C．50° D．60°
(第8题)
8．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )．
A．1处 B．2处
C．3处 D．4处
三、解答题
1．如图，已知在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明．
(1)AB＝DE (2)AC＝DF (3)∠ABC＝∠DEF (4)BE＝CF
(第1题)
已知：
求证：
证明：

2．如图，△ACB，△ECD都是等腰直角三角形，且点C在AD上，AE的延长线与BD交于点F，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
(第2题)

3．如图所示，已知AB＝AC，DB＝DC．
(1)E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，求证EH＝FG；
(2)若连结AD，BC交于P点，问AD与BC有什么关系，证明你的结论．
(第3题)

4．如图，AC平分∠BAD，CM⊥AB于M，且AB＋AD＝2AM．
(第4题)
求证：∠ADC＋∠ABC＝180°．

(第5题)
5．如图，Rt△AOB在平面直角坐标系xOy中，∠ABO＝90°，点B在x轴上，且点A的坐标是(-，2)，点P在x轴上运动，点S在y轴负半轴上运动(P点可与B，O重合)，当点P和点S运动到什么位置时才能使△AOB和△PSO全等，这样的△PSO存在几个，画出示意图，并写出P，S的坐标．

6．操作：将一张长方形纸片沿对角线剪开，如图(1)，得到两张全等的直角三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图(2)所示的形状，使点B，F，C，D在同一条直线上．
探究：(1)AB与DE的位置关系，并证明你的结论．
(第6题)
(2)如果PB＝BC，图中是否存在与此条件有关的全等三角形？若存在，找出一对加以证明；若不存在，请说明理由．

7．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在DB的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE＝CA，然后她测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．
(1)你能说明张倩这样做的根据吗？
(2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山相距200 m、A和雕塑相距120 m，请你帮助她确定AB的长度范围．
(3)在第(2)问的启发下，请你解决下列问题：在△ABC中，AD是BC边的中线，AD＝3，AB＝5，求AC的取值范围．
(第7题)

第十一章 全等三角形
参考答案
一、填空题
1．60°，15 cm．
解析：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠A＝60°．
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A′＝∠A＝60°，A′B′＝AB＝15 cm．
2．AC＝DB或∠ABC＝∠DCB．
解析：从三角形全等的判定“SSS”和“SAS”可得AC＝DB，∠ABC＝∠DCB．
3．(1)9．
解析：作DE⊥AB于E．
∵ AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴ DE＝DC＝×BC＝×24＝9．
(2)20．
解析：由已知得DC＝DE＝8，BC＝DC＝×8＝20．
4．4∶3．
解析：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴ DE＝DF，∴ S△ABD∶S△ACD＝AB×DE∶AC×DF ＝AB∶AC＝4∶3．
5．三个内角平分线．
解析：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
6．3 cm．
解析：可证∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∴ AD＝2DE＝2 cm．
又∵ BD平分∠ABC，∠C＝90°，∠DEB＝90°，
∴ DC＝DE＝1 cm，∴ AC＝AD＋DC＝3 cm．
7． 4．
解析：△ACD≌△BCE，① ∴ AD＝BE，∠CAP＝CBQ，得△ACP≌△BCQ，③
∴ AP＝BQ，CP＝CQ．
又∠PCQ＝60°，
∴ △CPQ是等边三角形，∴∠CPQ＝∠BCA＝60°，
∴ PQ∥AE．
∵∠CAP＝∠CBQ，
∴∠PAB＋∠ABO＝∠CAB＋∠ABC＝120°，
∴∠AOB＝60°．⑤
因此结论①②③⑤恒成立．
8．80°．
解析：∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°，∴∠a＝2(∠2＋∠3)＝80°．
二、选择题
1．A
解析：A中的三个条件是“边边角”，不一定使△ABC≌△A′B′C′．
2．D
解析：根据条件可证△AED≌△AFD，∴∠EDA＝∠FDA，AE＝AF．
∵ AD平分∠EAF，△ABC是等腰三角形，
∴ 直线AD是线段BC的对称轴，
∴ AD上的点到B，C两点的距离相等，由图形的对称性可知到AE，AF距离相等的点到DE，DF的距离也相等．因此结论①②③④均正确．
3．D
解析：A，B，C的命题均不正确，D命题正确．
4．C
解析：若高AD和A′D′均在三角形的形内或形外时∠B＝∠B'，若高AD和A′D′中有一条在三角形的形内，另一条在形外时，则∠B和∠B′互补．
5．A
解析：由①②③推出④，由①②④推出③，①③④不能推出②，②③④不能推出①．
6．C
解析：A(SAS)，B(SAS)，D(ASA)能判定全等，C组的条件是“边边角”，不一定使这两个三角形全等．
7．D
解析：∵∠BDC是△ACD的一个外角，
∴∠BDC＝∠ACD＋∠A．
∵∠ACD＝40°，∠A＝20°，
∴∠BDC＝40°－20°＝60°．
8．D
解析：到三条交叉公路距离相等的点，就在两条交叉公路的角平分线上，这样的点有四个，一个点在三角形的内部，另三个点在三角形的外部，所以有四处地址可选择．
三、解答题
1．解：已知：(1)(2)(4)．求证：(3)．(证明△ABC≌△DEF)(SSS)
或已知：(1)(3)(4)．求证：(2)．(证明△ABC≌△DEF)(SAS)
2．略证△ACE≌△BCD．
∵ △ACB与△ECD是等腰直角三角形，
∴ AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴ △ACE≌△BCD．
3．略证：(1)由题意可知△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠ABD＝∠ACD．
又∵ E，H，F，G分别是AB，CD，BD的中点，AB＝AC ，DB＝DC，
∴ BE＝CF，BH＝CH，∴ △BEH≌△CFG (SAS)．
∴ EH=FG．
(2)AD垂直平分BC，由△ABD≌△ACD(SSS)，得∠BAD=∠CAD．
又AP＝AP，AB＝AC，∴ △ABP≌△ACP (SAS)．
∴ BP＝CP，∠APB＝∠APC＝90°，即AD垂直平分BC．
4．略证：AB＋AD＝AM＋BM＋AD＝2AM，则BM＋AD＝AM，在AM上截取AP＝AD，则PM＝BM．可以证得△PAC≌△DAC(SAS)，则∠APC＝∠ADC．又PM＝BM，CM⊥AB，
∴ CP＝CB，∠ABC＝∠CPB．
∴∠ADC＋∠ABC＝∠APC＋∠CPB＝180°．

(第5题)
5．解：∵ A(-，2)，
∴ OB＝，AB＝2．
∵∠POS＝90°，要使△AOB与△PSO全等，
∴ OS＝，OP＝2或OS＝2，OP＝．
如图，这样的△PSO存在4个：
P1(-，0)，S1(0，- 2)； P2(，0)，S2(0，- 2)；
P3(- 2，0)，S3(0，-)； P4(2，0)，S4(0，-)．
6．略证(1)AB⊥DE．
∵∠EFD＝90°，
∴∠E＋∠D=90°．
又∠B＝∠E，
∴∠B＋∠D＝90°，∴∠BPD＝90°，∴ AB⊥DE．
(2)存在．
如△BPD≌△EFD(或△BPD≌△BCA)．
∵ PB＝BC＝FE，∠B＝∠E，∠BPD＝∠EFD＝90°，
∴ △BPD≌△EFD．
7．解：(1)可以证得△DCE≌△BCA(SAS)，∴ DE＝AB．
(2)AE＝2AC＝240 m，AD＝200 m，
在△ADE中，∵ AE－AD＜DE＜AE＋AD，∴ 40 m＜DE＜440 m，即40 m＜AB＜440 m．
(3)延长AD至E，使DE＝AD＝3，连接CE，则△CDE≌△BDA(SAS)．
∴ CE＝AB＝5．
△ACE中 AE－CE＜AC＜AE＋CE，
∴ 6－5＜AC＜6＋5．
∴ 1＜AC＜11．

第 10 页 共 10 页