广义坐标下带待定乘子的APl型Pel方程组的协变性.pdf

1 9 91l 广义 坐标下带待定 乘子的 A P P e l l 型 方程组 的协变性 柯永权王智勇 摘要 导 出广义坐标下带椅定乘 子的任意 阶非 完整约束 系统 Ap p e l l 型方程组 的一种 手价 形式，论证这 类 Ap p e H型方程组及其 等价 形式时点 变换的讳变性，并进 而提 出 点 履 正 则 变换 理 论 的 建 议。一、前 童。变量集做怎样的改换时，基本方程的形式才能保持不变?”这一所谓协变性 问题，是物 理学各分支 理论建 设中所共同关 心的问题，并且与所属分支 的积分 问题 常有较紧密 的联 系。在力 学的现代发展 中，它，仍然是一个有待讨论的 问题。近二三 十年来，由于 自动控制、宇宙航行等现代科技 的发展 需要，国际上 出现 了研 究“非 完整 系统力学”的热潮。在 梅风翔教授的倡导和带领 下，十多年来，我 国在这 一新 兴学科上也 迎头赶上，并做 出 了多方面的贾献：。其中就“基本方程”而 言，不 仅 已放成 功地归纳，分类 和推广到任意阶非完整约束系统，并且协变性问题也已着手探讨：。本文 拟对 Ap p e l l 体 系中广义坐 标下带待 定乘子的 Ap p e 1 1 型方程 组进行 这一 讨论，其所 得结果 总结于 定于 l和 2中 而做 为这 一 Ap p e t l 型方 程组 的一 种 等价表述 的(9)式，亦属 本 文首次给 出。在 定理 2的 启示 下，本文还提 出发展 正则变换理论 的建议。二、Ap l e l l 型方程组 的一个等价形式。表述于广义坐标位形空间 c q 的任意阶非完整约束系统的 A p p e 1 1 型方程组，当采 用1 a 一&r a n g e待定乘 子时，可以写做 _ ”C _ 一 2)=+G +奎知 擘，s 一】，2，(1)a g ，。ag 这里 f 是 系统 的位形 自由度，S(q ，t)(k=I，2，f)是系统 的加速 度能量(即 Ap p e 1 函 数)，(G，G ，Gt 和 O-O ，G r (T指转置)分 别是非理 想约束 力和 其它给 定力 所对 应 的广 义力 I 而 由式 血=等，s=i，2 一，(2)a g 所确定的 ，_-J ，乃是与 m阶约束组 56 维普资讯 http:/ (n，g，z)=0，l，2，(3)相 联系 的理 想约 束力 所对 应的广义力 式(2)中的，即相应于第 B 个 约束 f 8=0的 L a g r a n g e 待定乘子。今将 S(q ，D散对。(k l，2，f)的 L e g n tt e 变换，而 引进 新变量0 一象 l 2 ，)和新函数 K(q ，“，)三 茧一 (5)于 是 有 =芸，s=j，2 I，(6)和 s(口 膏 )=；“一K f T)注 意 到 箸 繁 于是就可由(6)、(d)和(1)得到。=-一a啪K =Q+l。，量一 l，2，(9)不 同 于方 程组(6)，方程 组(9)是方程组(1)结 台 L e g e n d t e变换而 导出的 动 力学规律 的 又一表述 而 方程组(6)纯系 L e g e n d r e 变 换而来，并非动力学规律 的表述。显然，由于 L e g e n d r e 变 换的可逆性，方程组(9)与(1)是等价的。三、协变 定理 现就 点变 换范围 内来考虑 Ap p e I】型方 程组(1)及 其等价形式(9)的 协变 性 问题 并“定 理的形式给 出答案。这 里的“点变 换”均指可逆变换。又+定理 中同一文字，不带 时指位形 空 间 0 中表 出的量，丽带”时，则指位 形空阿 c 中表 出的对应量。定理 l：若 与 c 为点变换 一(，)，=1，2，(1 0)所联系，则在一切 S和 Q G l、。(s=】，2，f)下，与 0 中的方程组(1)相等价 的，a 中的方 程组仍保持(1)的形式。证 明：将 式(1)两 边 乘 以 由(1 0)所 得 的 舞 t 井 对 s 求 和，碍 喜 壹 c-+山 孑 注 意 到 寻一 (I I)(1 2)i_ 3)注 盏 堕 为 保 证 诺 (暑 1 2 r)为 独 立 变 量 巳 假 定 l蠢 l o 一从 而-巧 山(4)解 出 矗 f】并 代 (5 I 褂 到 K(q t，_ t)一 一而-一,蛳s o可 蜘 l!0从 也【“(6)解m (t )_ t 入()一 逆转 s(，t)。维普资讯 http:/ U 致 C 与 C 中 厂 义 力 的 变 粳 式 L ；g r 一 。)则 可 由 f 1 I)得 到 一 口 r。+。+。(j)a g 式(1 7)与式(1)有 完全相同的数学形式，并 因变换(1 0)为可逆，而与式(】)相等价。又，以，l I 推 导井未 涉及。中 s、Q|、G 、的具体形 式，于是定理 完全得 证。定理 2：若 c q 与 c q l 为满足 条件-_0 H】，)的 点变换(1 O)所联系，则在 一切 Q 、G。、九和 K下，与 c q 中 的方 程组(9)相 等 价 的 C -的 方程 组仍 保持(9)的形式而 为 一一 一 Ir +1J。，=I，2，(【9)一j 一 Ir +1 J 这 里 r 一 一 警 (1 0)1)证 明：定理 l对点 变换 j O)未加 任何特 殊要 求，而条 件(1 8)为(1 0)所相 窖 因此条 件(I 8)T定理 l 依 然成 立。叉 一 中关 于方程组(1)与(9)的等价性的 论述 不曾对 C 提 出?殊 要求 因此方程组(I 9)的 成立 是显然的。而按(7)、(I 3)和(I O)，当有 蚶，一 =一K (2)t I t】和 晾 一 (案 +静)+争l)将(1 8)代(2 3)井注意到 c I 2)得 一 时 十 等 “1)将(2 1)代(2 2)，经 整理 甜“)+n 鲁一 一 -一 囡方 程纽(1)是带 待定乘 了自 ff,I 此不 沱约 束组(3)中的 n o取何值，方 程(2 5)中的 I 和诸 ，。注 条 仲(【8)可 2 三 4-0 k l，2 ，r(I 8)-浙 d -趾 独 立 的 而(1 8 和(1 8)竹 系 数 矩 阵 是 互 为 转 的 垃 破定(2)J 的k =k 1 (2 c t、z (1 0 ：t。58 维普资讯 http:/ 郡 筱 此 独 立。于 是 由(2 5)即 口 得 到(2 0)和(21)。又 凼 推 导 甲 井 禾 陟 拨 C 甲 S、q、o|、-具 体形式，于是定理完全得证。四、后 记 虽然 在非完整系统 的力学 中，目前仍 只限 于 E u i e r-L a g t a n g e体 系中各种正 则型方程组 来讨论正则变换与协变性问题，但这并不意味着在 N e i ls e n和 A p p e l I 体系中不能提出这类变 换 及相应的协变性 问题。事实上，尽管其中的 q I 和 p l 并非通常意义下的一对正则共轭量，定 理 2也 可被 说成是“在条件(】8)下 方 程组(9)对 一类 特殊正 则变换是 变的”因为对于 每 一时刻 t，由方程组(1 O)和(2 1)所规定的变换，正好有 L a g t a n e 括号 毒 c等 等一 繁 等 ；毒 壹 c 杀 争一 杀 =奎 毒 争鼍一 壹 杀 薏一 毒 事 争繁+壹 毒 h 劬。句 两 两 两 由 由 。曲 两 J 两 一 面 j 两 善唏 一 h_ 0 =毒 篆一 繁誓 =毒 薷 奎 c“+杀 一 姑 c c 如 +杀 =壹 鼍一 争鼍 +宣 秀喜 争鼍一 毫 宣 ：一 如+壹 E o o ：o g J，=，百a y 誓一 鼍 =壹 鹊 c“争+杀 争，一 鹣 c 毫 =毒 鼍+奎 奎 c鼍 去 一 鼍 毫 争 一+壹 c 毒 鼍 一 毒 c壹 鼍 一 +宣 喏 一 而构成一个接触变换 。当然，这仅是一 个特殊的接触变换。对 于一般的接触变换，尽至 一般 的正则变换，方程组(9)是否协变，以及伴随怎样的附加条件才是协变的，是有待进一步讨论 的 问题。善考文献 E 1 赵美康，我国分析力学的发展概况及展望 纺甥基础科学学报，1 9 8 8年第 2期，P 7 6 9 1 E 2 梅风翔 非完整系统力学基础。北京工业学院出版社，1 9 8 5年第一版 ：3 柯永权，非完整系统动力学方程的协燹性，太学韧理 1 9 9 1 年第 8期待发表。：d 张解放，任意阶非完整系统的 A p P e L l 型方程 力学与实践，1 9 8 9年第 2期，P 5 8 6 0 E 8 陈泼，分析动力学 北京大学出版社，1 9 8 7年第一膨。6 挎凤期，非完整 曩统力学积分方法的某些进展，力学避展，l 9 9 i 年第 i 期 P 8 3 9 5 59 维普资讯 http:/