圆的面积奥数.doc

圆 的 面 积

圆是一种平面图形，再日常生活中到处可见．如圆桌，圆盘，车辆的轱辘，以及游戏用的棋子，飞盘，呼啦圈等，由于圆有着本身独特的性质，在某些地方是其它形状所不能代替的，车轱辘就是一个很好的例子．这一讲我们着重研究圆以及和圆有关的组合图形的求面积方法．圆的面积计算公式，扇形面积计算公式，同学们在课本上已经都有初步的理解和掌握，我们主要讨论组合图形的面积的计算方法与技巧．
请注意常用的扇形：四分之一圆对应圆心角是90度，八分之一圆对应的圆心角是45度．

经典题再现
如下图所示，O是圆心，圆的周长等于75.36分米，点A、B、C都在圆周上，OABC是梯形，梯形的面积是98.28平方分米．AB = 20.76分米，那么阴影部分的面积是多少平方分米?（π取3.14）

解：由圆的周长可求圆的半径：75.36 = 2 × 3.14 × r，r = 12．
即OC = 12．
由梯形的面积及它的上底，下底已知，可求梯形的高．
98.28 = (12 + 20.76) × 高 ÷ 2，高 = 6．
阴影的面积 = 12 × 6 ÷ 2 = 12 × 3 = 36（平方分米）．

典型例题
【例1】 长方形长6分米，宽4分米，分别以长、宽为半径画弧，如图．那么阴影部分的面积是多少平方分米？

解：= 16.82（平方厘米）
答：影阴部分的面积是16.82平方厘米．
【例2】 如图，半圆S1的面积是14.13平方厘米，圆S2的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?

解：因为s1的面积为14.13平方厘米，所以半径的平方为14.1323.14 = 9，故半径为3厘米，直径为6厘米．
又因为s2的面积为19.625平方厘米，所以S2的半径的平方为19.6253.14 = 6.25（平方厘米），所以它的半径为2.5厘米，直径为5厘米，所以阴影部分面积为（6 - 5）5 = 5（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是5平方厘米．
【例3】 如图，A与B是两个圆（只有）的圆心，那么，两个阴影部分的面积相差多少平方厘米?

解：观察上图可以发现大圆的面积减去长方形的面积（包括小阴影和大空白两部分）再减去小圆的面积．就是两个影阴部分的面积差．
即
= 1.42（平方厘米）
答：两个阴影部分的面积相差1.42平方厘米．
【例4】 如图，圆的直径AB是4cm， ABCD的面积是7cm2，∠ABC等于30°，求阴影部分面积．

解：这个题许多同学将ABC看成是圆心角为30°的扇形．这是错误的，因为AB是直径，BC不是，AB，BC不一样长，所以，ABC不是扇形．
如下图，找到圆心O，连CO，AOC才是扇形．先要求这个扇形的圆心角，就可以求出它的面积．然后再求三角形COB的面积，用 ABCD的面积减去，就是阴影面积．

阴影面积等于平行四边形面积减去扇形AOC的面积，再减去△BOC的面积．
扇形的圆心角 = 180°-（180°- 30°× 2）= 60°．
扇形的面积 =2 × 2 × 3.14 × 60 ÷ 360 = 2.09（平方厘米）．
△BOC的面积 = 7 ÷ 2 ÷ 2 = 1.75（平方厘米）．
阴影部分的面积 = 7 – 2.09 - 1.75 = 3.16．
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米．
【例5】 下图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

解：两个空白部分拼起来正好是一个4×4的正方形．
所以阴影部分面积等于2×4的长方形面积．
2 × 4 = 8（平方厘米）
答：影阴部分的面积是8平方厘米．
【例6】 如图所示，这是一个正六边形，它的面积为1040平方厘米．空白部分是半径为10cm的6个小扇形．求阴影部分的面积．

解：图中阴影部分的面积显然是正六边形的面积减去六个小扇形的面积．正六边形的面积已知，所以关键是求六个小扇形面积．
我们观察每3个小扇形可以拼成一个半径为10厘米的圆，6个小扇形可以拼成2个小圆形．阴影部分的面积就是正六边形的面积减去2个半径为10厘米的小圆的面积．
6个扇形的面积为3.14 × 102 × 2 = 628（平方厘米），
阴影部分的面积：1040 - 628 = 412（平方厘米）．
答：阴影部分的面积为412平方厘米．

难题详解
如下图所示，在4 × 7的方格纸板上画出如阴影所示的“9”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几?

解：矩形纸板共28个小正方形．其中弧线是圆周．非阴影部分共6个，也共6个．可拼成6个小正方格．因此阴影部分共28 - 6 - 3=19个小方格．所以，阴影面积占纸板面积的．
答：阴影面积占纸板面积的．

同步练习
1．如下图，ABCD为正方形，且FA = AD = DE = 2厘米，求阴影部分的面积？

2．有三个形状相同的圆形纸片，面积都是90平方厘米，重叠在一起（如图），盖住桌面的总面积是150平方厘米，三张纸片重叠的面积是28平方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？

3．已知图中各圆相切，小圆半径为1，求阴影部分面积．

4．已知每个圆的直径为6厘米，求阴影部分的面积．

5．图中正方形ABCD的边长是20厘米，求阴影部分面积．

6．如图，已知每个小正方形的面积为1平方厘米，求阴影部分面积．（注：所用分点均理解为所在边中点）．

7．如图，大圆直径上的黑点是五等分点，求A，B，C三部分面积之比．

8．如图，O为圆心，C为扇形ACB的圆心，CO垂直于AB，三角形ABC的面积为45平方厘米，求阴影部分面积．

同步练习解答
1．图形为图形面积的一半，于是，阴影部分的面积为
= 2.43（平方厘米）
2．解：90 × 3 - 150 - 28 × 2 = 64（平方厘米）
3．如图I，II，III部分面积是相等的，剩余3块小阴影面积也相等．那么所求阴影部分面积是一个小半圆面积加上大半圆减去2个小圆和3个小半圆剩余部分的．
阴影面积为：

4．如图，长方形外的阴影部分一共个圆，移至长方形内正好填满长方形，阴影部分的面积就是长方形面积．
阴影部分面积 = 6 × 2 × 6 = 72（平方厘米）．

5．充分利用圆的对称性，如图，大扇形ABC的半径是20，它的面积减去三角形ABC的面积就是I的面积．正方形ABCD减去圆O的面积就是4个II的面积．
阴影部分就是ABCD面积减去2个I，4个II的面积．
20
= 129（平方厘米）

6．阴影分成两部分，一部分是字母“A”，一部分是字母“r”．
字母“A”的面积，我们只需算一半，再2倍就可以了．

平行四边形ABCD面积=
梯形EFHG面积=
字母“A”的面积．
字母“r”的面积
．
最后，阴影面积为3.625 + 12.26 = 15.885（平方厘米）．
7．显然，A与C面积相等，B与C面积比为
（1.52 - 12）：[（2.52 - 1.52 + 12）÷ 2] = 1∶2．
所以，A，B，C面积比为：2∶1∶2．
8．设CA = CB = a，OC = OB = OA = r．
则由三角形ABC面积为45知，，a2 = 90．
再以AB为底计算三角形ABC面积：ABOC=2OAOC =b2知，b2 = 45．
阴影部分面积 = 半圆面积 + 三角形ABC面积 - 扇形ACB面积．即
45 + b23.14- a2 3.14= 45 + 453.14- 903.14= 45