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恒成立问题和存在性问题
1．若函数的定义域为R，则的取值范围是 。答：[－1，0]
2．设函数，若函数在上有意义，求实数的取值范围。答：。
3．若关于的不等式在上恒成立，则实数的范围为 .答：
4．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.答：
5．若上是减函数，则的取值范围是 。答：
6．已知函数 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 .答：
7．已知函数在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是 。答：（1，2）
8．函数上为增函数，则实数m的取值范围是 .答：
9．函数在上恒有，则a的取值范围是 。答：
10．若关于的方程（，且）有解，则的取值范围是 。
答：
11．设为常数，若存在，使得，则实数的取值范围是＝ 。答：。
12．如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 。答：
13．已知函数的值域，函数，
使得成立，则实数的取值范围是 。答：。
14．已知函数，，
，成立，则实数的取值范围是 ．
答：
15．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是 。答：。
16．若函数在[0，1]上恒为正值，则实数的取值范围是 。答：
17．已知命题与命题都是真命题,则实数的取值范围是 . 答：
18．已知命题p:的定义域为R，命题q：关于 的不等式>1的解集为R，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数的取值范围.
解：p为真命题时，
P为真命题时，令
的解集为R
又“p或q为真”，“p且q”为假 P，q中一真一假

a的取值范围是
19．已知实数，且满足以下条件：①、，有解；②、，；求实数的取值范围
解：由于实数，由①得：；
由②得：时，，则由得：
，令，则，函数在区间上为减函数，
则当时，，
要使在上恒成立，则；由上可知，
20．设函数。（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。
解 (1) 若 则 列表如下

+
0
-
-

单调增
极大值
单调减
单调减
(2)在 两边取对数, 得 ,由于所以 (1)
由(1)的结果可知,当时, ,
为使(1)式对所有成立,当且仅当,即
21．设函数，其中（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率（2）求函数的单调区间与极值（3）已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围
【答案】（1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
【解析】解：当
所以曲线处的切线斜率为1.
（2）解：，令，得到
因为
当x变化时，的变化情况如下表：

+
0
-
0
+

极小值

极大值

在和内减函数，在内增函数。
函数在处取得极大值，且=
函数在处取得极小值，且=
（3）解：由题设，
所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得
因为
若，而，不合题意
若则对任意的有
则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得
综上，m的取值范围是
22．已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
解：(1)的定义域为。
（i）若即,则故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
则
由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，
即，故，当时，有
23．已知函数。（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，等价于
， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即 .
从而
故a的取值范围为（-∞，-2].
24．已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
解析：(Ⅰ)，
令
（1）当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.
(2)当时，由，即，解得.
当时，恒成立，此时，函数单调递减；
当时，，时，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减.
当时，当,函数单调递减；
当，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；
当时，恒成立，此时，函数在单调递减；
当时，函数在单调递减，单调递增，单调递减.
（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，
有，
又已知存在，使，所以，，（※）
又
当时，与（※）矛盾；
当时，也与（※）矛盾；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
25．（2010全国新）设函数
（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）若当≥0时≥0，求的取值范围
解：（Ⅰ）时，，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（-1，0）单调减少。
（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0.
若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0. 综合得的取值范围为

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