资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是（ ）
A．BM＞DN B．BM＜DN C．BM=DN D．无法确定
2．如图，已知在ΔABC中，DE∥BC，则以下式子不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果他第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
5．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为( )
A．(－，1) B．(－1，) C．(，1) D．(－，－1)
7．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
8．如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边上的点，且DE∥AC，若，，则△ACD的面积为（ ）
A．64 B．72 C．80 D．96
10．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．1.5cm B．3cm C．6cm D．12cm
11．二次函数y＝x2+（t﹣1）x+2t﹣1的对称轴是y轴，则t的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
12．如图，已知在中，，于，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果AD：DB=1：2，则CE：CF的值为____________．
14．如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（6，10），则点C的坐标为_____．
15．记函数的图像为图形，函数的图像为图形，若N与没有公共点，则的取值范围是___________.
16．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为_____．
17．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则此方程的另一个解为____.
18．如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知：点M是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点M不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BM作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
⑴如图1,当点M与点O重合时，OE与OF的数量关系是 ．
⑵直线BM绕点B逆时针方向旋转，且∠OFE=30°．
①如图2，当点M在线段AC上时，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请你写出来并加以证明；
②如图3，当点M在线段AC的延长线上时，请直接写出线段CF、AE、OE之间的数量关系．
20．（8分）如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E,.作线段AP的中垂线MN分别交线段DC,DB,AP,AB于点M,G,F，N.
（1）求证：；
（2）若，求.
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求的值.
21．（8分）已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标.
22．（10分）将四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．
（1）在甲组的概率是多少？
（2）都在甲组的概率是多少？
23．（10分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．
请根据图中信息解决下列问题：
（1）共有多少名同学参与问卷调查；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为， ，．
（1）的面积是_______；
（2）请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为，变换后点的对应点分别为点，点在第一象限；
（3）若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 _______．
25．（12分）已知：△ABC中，点D为边BC上一点，点E在边AC上，且∠ADE＝∠B
(1) 如图1，若AB＝AC，求证：；
(2) 如图2，若AD＝AE，求证：；
(3) 在(2)的条件下，若∠DAC＝90°，且CE＝4，tan∠BAD＝，则AB＝____________．
26．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点C的坐标为（﹣4，﹣1），则点C2的坐标为 ．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】分析：连接BD，根据平行四边形的性质得出BP=DP，根据圆的性质得出PM=PN，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM，从而得出三角形全等，得出答案．
详解：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP， ∵以P为圆心作圆， ∴P又是圆的对称中心，
∵过P的任意直线与圆相交于点M、N， ∴PN=PM， ∵∠DPN=∠BPM，
∴△PDN≌△PBM（SAS）， ∴BM=DN．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．
2、D
【分析】由DE∥BC可以推得ΔADE~ΔABC,再由相似三角形的性质出发可以判断各选项的对错．
【详解】∵DE∥BC，∴ΔADE~ΔABC,所以有：
A、，正确；
B、由A得，即，正确；
C、,即，正确；
D、，即,错误．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定与性质，根据三角形相似的性质写出有关线段的比例式是解题关键．
3、B
【分析】根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.
【详解】因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，
所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，
故选B．
【点睛】
本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性．
4、A
【解析】试题分析：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是．
故选A．
考点：概率公式．
5、C
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
6、A
【解析】试题分析：作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．∴点C的坐标为
（-，1）故选A．
考点：1、全等三角形的判定和性质；2、坐标和图形性质；3、正方形的性质．
7、C
【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.
【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．
8、A
【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．
【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
9、C
【分析】根据题意得出BE：CE＝1：4，由DE∥AC得出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积．
【详解】∵S△BDE=4，S△CDE=16，
∴S△BDE：S△CDE=1：4，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ABC=100
∴S△ACD= S△ABC - S△BDE - S△CDE =100-4-16=1．
故选C．
【点睛】
考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
10、C
【分析】根据150°的圆心角所对的弧长是5πcm，代入弧长公式即可得到此弧所在圆的半径．
【详解】设此弧所在圆的半径为rcm，
∵150°的圆心角所对的弧长是5πcm，
∴，
解得，r＝6，
故选：C．
【点睛】
本题考查弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键.
11、C
【解析】根据二次函数的对称轴方程计算．
【详解】解：∵二次函数y＝x2+（t﹣1）x+2t﹣1的对称轴是y轴，
∴﹣＝0，
解得，t＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数对称轴性质，熟练掌握对称轴的公式是解题的关键.
12、A
【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．
【详解】由三角形的面积公式可知，CD•AB=AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，B、C正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，掌握射影定理、三角形的面积公式是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】解：如图，连接DE,DF,
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,
由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF
∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,
∴∠BDF+60°=∠AED+60°,
∴∠BDF=∠AED,
∵∠A=∠B,
∴△AED∽△BDF,
∴ ,
设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,
∴AC=BC=3x,
∵,
∴
∴
∴,
∴.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.
14、（6，﹣10）
【分析】根据菱形的性质可知A、C关于直线OB对称，再根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：∵四边形OABC是菱形，
∴A、C关于直线OB对称，
∵A（6，10），
∴C（6，﹣10），
故答案为：（6，﹣10）．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和关于x轴对称的点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握菱形的性质是关键．
15、或
【分析】分两种情况讨论：①M在N的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数与函数组成的方程组无解即可.②M在N的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.
【详解】①M在N的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数与函数组成的方程组无解即可.可得：
整理得：
∴
②M在N的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.
当x=-2时，4+12-5a+3＜6，解得：
当x=6时，36-36-5a+3＜-2，解得：a＞1
故
综上所述：或
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数是交点问题，本题的关键在于二次函数的取值范围，需考虑二次函数的开口方向.
16、
【分析】先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．
【详解】如图，
由旋转的性质可知：AC=AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD=，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=30°，
∴∠C'AB'=∠CAB=30°，
∴∠EAC=30°，
∴AE=EC，
∴DE=，
∴CE=，
DE=，
AD=，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．
17、
【分析】将x=-3代入原方程,解一元二次方程即可解题.
【详解】解：将x=-3代入得,a=-1,
∴原方程为,
解得：x=1或-3,
【点睛】
本题考查了含参的一元二次方程的求解问题,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
18、40°
【解析】：在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°
三、解答题（共78分）
19、（1）OE=OF；（2）①，详见解析；②CF=OE-AE
【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．
（2）①图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点N，只要证明△EOA≌△NOC，△OFN是等边三角形，即可解决问题．
②图3中的结论为：CF=OE-AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．
【详解】解：⑴∵
∴AE∥CF
∴ 又,OA=OC
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF．
⑵①
延长EO交CF延长线于N．
∵
∴AE∥CF
∴ 又,OA=OC
∴△OAE≌△OCN
∴AE=CN,OE=ON 又,
∴OF=ON=OE,
∴OF=FN=ON=OE,又AE=CN
∴CF=AE-OE
②CF=OE-AE,证明如下：
延长EO交FC的延长线于点G
∵
∴AE∥CF
∴∠G=∠AEO,∠OCG=∠EA0，
又∵AO=OC，
∴△OAE≌△OCG.
∴AE=CG,OG=OE.
又,
∴OF=OG=OE,
∴△OGF是等边三角形，
∴FG=OF=OE.
∴CF=OE-AE.
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由等角对等边可得，再由对顶角相等推出，然后利用等角的余角相等即可得证；
（2）在中，利用勾股定理可求出BD=10，然后由等角对等边得到，进而求出BP=2，再利用推出，由垂直平分线推出，即可得到的值；
（3）连接CG，先由勾股定理求出，由（2）的条件可推出BE=DG，再证明△ABE≌△CDG，从而求出，并推出，最后在中，即可求出的值.
【详解】（1）证明：，
∵MN⊥AP
∴∠GFE=90°
∴∠BGN+∠GEF=90°
又
（2）在矩形ABCD中，
∴在中，
又∵在矩形ABCD中，
∴
∵MN垂直平分AP
（3）如图，连接CG，
在中，
在中，
又∵在矩形ABCD中，
在△ABE和△CDG中，
∵AB=DC，∠ABE=∠CDG，BE=DG
∴在中，
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质，全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及三角函数，熟练掌握矩形的性质推出相似三角形与全等三角形是解题的关键.
21、y=x2-2x-3，顶点坐标为（1，-4）.
【解析】把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标.
【详解】∵抛物线经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得b= -2，c= -3，
∴ 抛物线解析式为y=x2-2x-3 ．
∵ y=x2-2x-3=（x-1）2 -4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
【点睛】
本题考查了待定系数法、二次函数的性质.
22、（1）（2）
【解析】解：所有可能出现的结果如下：
甲组
乙组
结果
（）
（）
（）
（）
（）
（）
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．
（1）所有的结果中，满足在甲组的结果有3种，所以在甲组的概率是，··· 2分
（2）所有的结果中，满足都在甲组的结果有1种，所以都在甲组的概率是．
利用表格表示出所有可能的结果，根据在甲组的概率=，
都在甲组的概率=
23、（1）参与问卷调查的学生人数为100人；（2）补全图形见解析；（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为570人．
【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．
【详解】（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%=100人，
（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10=5人，
读2本人数所占百分比为×100%=38%，
补全图形如下：
（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%=570人．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24、（1）12；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据三角形的面积公司求出的面积即可；
（2）根据与的相似比为，点在第一象限，得出 ，， 的坐标，连接起来即可；
（3）根据与的相似比为，点的坐标为点P横纵坐标的一半．
【详解】（1）根据三角形面积公式得
∴的面积是12
故答案为：12；
（2）如图所示
（3）∵与的相似比为
∴变换后点的横坐标为点P横坐标的一半，点的纵坐标为点P纵坐标的一半
∴
则变换后点的对应点的坐标为．
【点睛】
本题考查了坐标轴的作图和变换问题，掌握三角形的面积公式以及相似三角形的性质是解题的关键．
25、
【解析】分析：(1)
∠ADE＝∠B,可得 根据等边对等角得到
△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可证明.
(2) 在线段AB上截取DB＝DF,证明△AFD∽△DEC，根据相似三角形的性质即可证明.
(3) 过点E作EF⊥BC于F，根据tan∠BAD＝tan∠EDF＝，设EF＝x，DF＝2x，则DE＝，证明△EDC∽△GEC，求得，根据CE2＝CD·CG，求出CD＝，
根据△BAD∽△GDE,即可求出的长度.
详解：(1)
∠ADE＝∠B,可得
∵△BAD∽△CDE，
∴；
(2) 在线段AB上截取DB＝DF
∴∠B＝∠DFB＝∠ADE
∵AD＝AE ∴∠ADE＝∠AED ∴∠AED＝∠DFB，
同理：∵∠BAD＋∠BDA＝180°－∠B，∠BDA＋∠CDE＝180°－∠ADE
∴∠BAD＝∠CDE
∵∠AFD＝180°－∠DFB，∠DEC＝180°－∠AED
∴∠AFD＝∠DEC ，
∴△AFD∽△DEC，
∴
(3) 过点E作EF⊥BC于F
∵∠ADE＝∠B＝45°
∴∠BDA＋∠BAD＝135°，∠BDA＋∠EDC＝135°
∴∠BAD＝∠EBC（三等角模型中，这个始终存在）
∵tan∠BAD＝tan∠EDF＝
∴设EF＝x，DF＝2x，则DE＝，
在DC上取一点G，使∠EGD＝45°，
∴△BAD∽△GDE，
∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∵∠AED＝∠EDC＋∠C＝45°，∠C＋∠CEG＝45°，∴∠EDC＝∠GEC，
∴△EDC∽△GEC，∴ ∴，
又CE2＝CD·CG，
∴42＝CD·，CD＝，
∴，解得
∵△BAD∽△GDE
∴,
∴.
点睛：属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定于性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
26、 (1)见解析,（2）图见解析；（4，1）
【解析】（1）让三角形的各顶点都绕点A顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可；
（2）根据△ABC的各顶点关于原点的中心对称，得出A2、B2、C2的坐标，连接各点，即可得到结论．
【详解】解：（1）所画图形如下所示，△A1B1C1即为所求；
（2）所画图形如下所示，△AB2C2即为所求．
点C2的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】
本题主要考查了旋转变换图形的方法，图形的中心对称问题和平移的性质，考查了利用直角坐标系解决问题的能力，关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数．
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