全称量词与存在量词.doc

全称命题与存在性命题
教学目标：
1．了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词.
2．利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.
教学重点难点：全称量词与存在量词命题间的转化；隐蔽性否定命题的确定.
教学过程：
一、全称命题与存在性命题
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词
所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语.我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境.
①一 纸；②一 牛；③一 马；④一 人家；⑤一 轮船
答案：①张②头③匹④户⑤艘.
问题2：下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；
上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词.
（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n.
命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词.命题的量词，表示的是主词数量的概念.在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词.
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等.含有全称量词的命题称为全称命题
存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等.含有存在量词的命题称为存在性称命题
含有量词的命题通常包括存在性命题和全称命题二种.
问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？
（1）方程2x=5只有一解；
（2）凡是质数都是奇数；
（3）方程2x2＋1=0有实数根；
（4）没有一个无理数不是实数；
（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；
（6）集合A∩B是集合A的子集.
分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；
全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:.
存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:.
注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"all"中的首字母.存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母.存在量词的“否”就是全称量词.
例1判断以下命题的真假：
（1）; （2）; （3）; （4）.
分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真.
例2判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来.
（1）中国的所有江河都注入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个向量都有方向.
分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；
（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；
（3）全称命题， x∈R，；
（4）全称命题，，有方向.
二、存在性命题和全称命题的否定
问题4：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定.
（1）"xÎR，x2-1≥0
（2）所有的矩形都是平行四边形；
（3）每一个素数都是奇数；
分析：（1），否定：$xÎR，x2-1<0；形如：.
（2），否定：存在一个矩形不是平行四边形；.
（3），否定：存在一个素数不是奇数；.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
问题5：写出命题的否定:
（1）p：$x∈R，x2-1<0；
（2）p：有的三角形是等边三角形；有的矩形不是平行四边形
（3）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分.
分析：（1）" xÎR，x2＋2x+2>0；
（2）任何三角形都不是等边三角形；
（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分.
从集合的运算观点剖析：,.
1.全称命题、存在性命题的否定
一般地，全称命题 成立，其否定不成立,即.
存在性命题成立；其否定为不成立，即.
用符号语言表示：
否定为；
否定为 .
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定之否定得肯定.
2.关键量词的否定
词语[来源:Zxxk.Com]
是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
词语的否定
一个也没有
至多有n-1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在有一个x成立

例3 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练；
（2）p："xÎR，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；
（4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0。
分析：（1）Ø P：有的人不晨练；（2）$ x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）"xÎR，x2－x+1≠0；
例4 写出下列命题的否定.
（1） 所有自然数的平方是正数.
（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根.
（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4） 有些质数是奇数.
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数.
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根.
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0.
（4）的否定：所有的质数都不是奇数.
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”.在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式.
例5 写出下列命题的否定.
（1） 若x2＞4 则x＞2.
（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根.
（3） 可以被5整除的整数，末位是0.
（4） 被8整除的数能被4整除.
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2.或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4.（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+-m=0无实数根.（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根.）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等.（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等.）
例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性.　
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0.
解：（1）Ø p：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题.
　　 否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题.
（2）Øp：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题.
　　 否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题.
（3）Ø p：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题.
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等.假命题.
（4）Ø p：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0.假命题.
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0.真命题.
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念.其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若p则q”提出来的.
2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假.
3． 原命题是“若p则q” 的形式，它的非命题“若p，则Øq”；而它的否命题为 “若Ø p，则Øq”，既否定条件又否定结论.
三、回顾反思
在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力.

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