PM-空间中一类n变量混合型泛函方程的稳定性.pdf

第4 9卷 第2期2 0 2 3年6月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.2J u n.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 4 1 7基金项目:陕西省教育厅自然科学基金(2 2 J K 0 3 9 4)第一作者:韩玥(1 9 9 8),女,硕士研究生,研究方向为泛函方程的稳定性.通信作者:成立花(1 9 7 3),女,副教授,研究方向为算子理论与小波分析.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 2-0 1 0 9-0 7PM空间中一类n变量混合型泛函方程的稳定性韩 玥,成立花(西安工程大学 理学院,西安 7 1 0 0 4 8)摘要:利用差分算子的定义给出了一类新的n变量可加二次混合型泛函方程,并通过对函数性态进行分类得到了其在实向量空间中的通解,同时利用不动点方法证明了该混合型泛函方程在PM空间中具有H y e r s-U l a m稳定性.关键词:H y e r s-U l a m稳定性;不动点法;混合型泛函方程;PM空间中图分类号:O 1 7 7.7 文献标识码:AS t a b i l i t y o f a c l a s s o f m i x e d f u n c t i o n a l e q u a t i o n s w i t h n v a r i a b l e s i n PM-s p a c eHAN Y u e,CHE NG L i h u a(S c h o o l o f S c i e n c e,X i a n P o l y t e c h n i c U n i v e r s i t y,X i a n 7 1 0 0 4 8,C h i n a)A b s t r a c t:A n e w c l a s s o f a d d i t i v e-q u a d r a t i c h y b r i d f u n c t i o n a l e q u a t i o n s o f n v a r i a b l e s w a s g i v e n b y u s i n g t h e d e f i n i t i o n o f d i f f e r e n c e o p e r a t o r s.B y c a t e g o r i z i n g t h e f u n c t i o n a l s t a t e s,i t s g e n e r a l s o l u t i o n i n r e a l v e c t o r s p a c e w a s o b t a i n e d,a n d t h e f i x e d-p o i n t m e t h o d w a s u s e d t o p r o v e t h a t t h e h y b r i d f u n c t i o n a l e q u a t i o n s h a v e H y e r s-U l a m s t a b i l i t y i n PM-s p a c e.K e y w o r d s:H y e r s-U l a m s t a b i l i t y;f i x e d-p o i n t m e t h o d;m i x e d f u n c t i o n a l e q u a t i o n;PM-s p a c e0 引言由于混合型泛函方程在相对论、信息论和保险统计等领域具有广泛的应用,因此受到学者们的关注.近年来,许多学者研究了混合型泛函方程的稳定性.例如:文献1的作者对一类二三次混合型泛函方程在非阿基米德(n,)赋范空间中的稳定性进行了分析;文献2 和文献3 的作者分别在模糊空间和B a n a c h空间中研究了可加 四次混合型泛函方程的稳定性;文献4 和文献5 的作者分别在随机赋范空间和非阿基米德空间中研究了可加二次混合型泛函方程的稳定性.2 0 2 3年,文献6的作者研究了如下可加泛函方程:f(x+y)=f(x)+f(y),(1)并给出了方程(1)的通解(f(x)=b x),其中可加泛函方程的每个解f都被称为可加映射.同年,文献7的作者研究了如下二次泛函方程:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),(2)延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 并给出了方程(2)的通解(f(x)=a x2),其中二次泛函方程的每个解f都被称为二次映射.概率模空间是由K o u r o s h8首次提出的.设X是一个实向量空间,是所有分布函数的集合.若映射:X满足以下条件:1)(x)(0)=0;2)当x=0,且t0时,有(x)(t)=1;3)(-x)(t)=(x)(t);4)对所有的x,yX,a,b,s,tR+0,a+b=1,有(a x+b y)(s+t)(x)(s)(y)(t).则称(X,)是一个概率模空间(PM空间),其中符号“”代表“m i n”.若对所有的xX,t0,aR 0,b(0,1,有(a x)(t)=(x)tab ,则称(X,)是b同态的.另外,在(X,)是b同态的情况下,文献8的作者还将上述条件4)变为了如下形式:(x+y)(2b(s+t)=12x+12y (s+t)(x)(s)(y)(t).基于上述可加泛函方程(1)和二次泛函方程(2),本文建立了如下一类n变量混合型泛函方程:f(2x1+x2+xn)+f(x1+2x2+xn)+f(x1+x2+2xn)=ni=1f(-xi)+(n+2)f(x1+x2+xn),nN,(3)并利用不动点法研究了其在PM空间中的稳定性.1 方程(3)的解假设P和X都为实向量空间.本文将在f分别为奇映射和偶映射的情形下,对泛函方程(3)进行求解.定理1若奇映射f:PX满足泛函方程(3),则f是一个可加映射.证明 假设奇映射f满足泛函方程(3),则在方程(3)中分别用(0,0,0)和(x1,0,0)替代(x1,x2,xn)可得f(0)=0和 f(2x1)=2f(x1),x1P.(4)再用(x1,x1,0,0)替代(x1,x2,xn)可得:f(3x1)=3f(x1),x1P.(5)由式(4)和式(5)可得f(n x1)=n f(x1).在方程(3)中,再用(x1,x2,0,0)替代(x1,x2,xn)可得:f(2x1+x2)+f(x1+2x2)=4f(x1+x2)-f(x1)-f(x2),x1,x2P.(6)再用(x1,x2,x1,0,0)替代(x1,x2,x3,xn)可得:2f(3x1+x2)+2f(x1+x2)=5f(2x1+x2)-2f(x1)-f(x2),x1,x2P.在上式中,令x2=x2-x1可得:2f(2x1+x2)=5f(x1+x2)+f(x1-x2)-2f(x1)-2f(x2),x1,x2P.(7)在式(7)中,用(x2,x1)替代(x1,x2)可得:2f(x1+2x2)=5f(x1+x2)-f(x1-x2)-2f(x1)-2f(x2),x1,x2P.(8)将式(7)和式(8)相加可得:f(2x1+x2)+f(x1+2x2)=5f(x1+x2)-2f(x1)-2f(x2),x1,x2P.于是再由式(6)即可得到方程(1),因此f是可加的.证毕.定理2若偶映射f:PX满足泛函方程(3),则f是一个二次映射.证明 假设偶映射f满足泛函方程(3),则在方程(3)中分别用(0,0,0)和(x1,0,0)替代(x1,x2,xn)可得f(0)=0和 f(2x1)=4f(x1),x1P.(9)011 第2期韩玥,等:PM空间中一类n变量混合型泛函方程的稳定性再用(x1,x1,0,0)替代(x1,x2,xn),有:f(3x1)=9f(x1),x1P.(1 0)由式(9)和式(1 0)可得f(n x1)=n2f(x1).在方程(3)中,再用(x1,x2,0,0)替代(x1,x2,xn)可得:f(2x1+x2)+f(x1+2x2)=4f(x1+x2)+f(x1)+f(x2),x1,x2P.(1 1)再用(x1,x2,x1,0,0)替代(x1,x2,x3,xn)可得:2f(3x1+x2)+4f(x1+x2)=5f(2x1+x2)+2f(x1)+f(x2),x1,x2P.在上式中,令x2=x2-x1可得:2f(2x1+x2)=5f(x1+x2)+f(x1-x2)+2f(x1)-4f(x2),x1,x2P.(1 2)在式(1 2)中,用(x2,x1)替代(x1,x2)可得:2f(x1+2x2)=5f(x1+x2)+f(x1-x2)-4f(x1)+2f(x2),x1,x2P.(1 3)将式(1 2)和式(1 3)相加可得:f(2x1+x2)+f(x1+2x2)=5f(x1+x2)+f(x1-x2)-f(x1)-f(x2),x1,x2P,于是再由式(1 1)即可得方程(2),因此f是二次的.证毕.2 方程(3)的稳定性定义19令X是一个模空间,且模满足F a t o u性质,C是X上的一个完备的非空子集.如果存在k1,且对所有的x,yC使得(T(x)-T(y)Km a x(x-y),(x-T(x),(y-T(y),(x-T(y),(y-T(x),则称T:CC是一个拟压缩自映射.引理19(不动点定理)若对任意的xC,使得(x)=s u p(Tn(x)-Tm(x):m,nN,则序列Tn(x)收敛到点w(wC).如果有(w-T(w)和(x-T(w),则称Tn(x)的收敛点w是T的一个唯一不动点,即若w*是T的任一满足(w-w*)的不动点,则有w=w*.在下文中本文总是假定M是一个线性空间,(X,)是一个完备b同态的PM空间.对于映射f:M(X,),分别定义其有如下差分算子:G0(x1,x2,xn)=f(2x1+x2+xn)+f(x1+2x2+xn)+f(x1+x2+2xn)-(n+2)f(x1+x2+xn)+ni=1f(xi),nN,Ge(x1,x2,xn)=f(2x1+x2+xn)+f(x1+2x2+xn)+f(x1+x2+2xn)-(n+2)f(x1+x2+xn)-ni=1f(xi),nN.下面,利用不动点方法分析n变量混合型泛函方程(3)在PM空间中的稳定性.定理3令M是一个线性空间,(X,)是一个完备b同态的PM空间.设映射:MM满足(2ax,0,0)(2a bN t)(x,0,0)(t),xM,且对所有的x1,x2,xnM和0N0:(f(x)(l t)(x)(t),xM,且满足2条件和F a t o u性质,由此可得S是完备的1 0.定义映射T:SS为T A(x)=A(2ax)2a,且对任意的lR+,存在g,hS,且使得(g-h)l.由的定义可得(g(x)-h(x)(l t)(x)(t),xM.进而由该式可得:(T g(x)-T h(x)(N l t)=g(2ax)2a-h(2ax)2a (N l t)=(g(2ax)-h(2ax)(2a bN l t)(2ax)(2a bN t)(x)(t),xM.由上式可知对所有的g,hS有(T g-T h)N(g-h),这表明T是一个严格压缩映射.在式(1 9)中,用2ax替代x可得f(22ax)2a-f(2ax)(t)(2ax)(t),xM,进而由该式可得:2-2af(22ax)-2-af(2ax)(N t)=2-af(22ax)-f(2ax)(2a bN t)(2ax)(2a bN t)(x)(t),xM.(2 0)由式(1 9)和式(2 0)可得:f(22ax)22a-f(x)(2b(N t+t)f(22ax)22a-f(2ax)2a (N t)f(2ax)2a-f(x)(t)(x)(t),xM.(2 1)在式(2 1)中,分别用2ax、2a b2b(N2t+N t)替代x、2b(N t+t)可得:(2-2af(23ax)-f(2ax)(2a b2b(N2t+N t)(2ax)(2a bN t)(x)(t),xM.由上式可得:(2-3af(23ax)-2-af(2ax)(2b(N2t+N t)(x)(t),xM,(2 2)由式(1 9)和式(2 2)可得:f(23ax)23a-f(x)(2b(2b(N2t+N t)+t)f(23ax)23a-f(2ax)2a (2b(N2t+N t)f(2ax)2a-f(x)(t)(x)(t),xM.(2 3)对比式(2 1)和式(2 3)可得:f(2a mx)2a m-f(x)(2bN)m-1t+2bm-1i=1(2bN)i-1t (x)(t),xM,211 第2期韩玥,等:PM空间中一类n变量混合型泛函方程的稳定性其中整数m0.因此由上式可得:(Tmf-f)(2bN)m-1+2bm-1i=1(2bN)i-12bmi=1(2bN)i-12b1-2bN.由C a u c h y收敛定理知,Tm(f)是收敛到A的1 0,故上式可变形为(A-f)2b1-2bN.于是有(A(x)-f(x)2b1-2bNt (x)(t)=(x,0,0)(2bNa-12t),进而可得:(A(x)-f(x)tNa-12(1-2bN)(x,0,0)(t),xM.由上式可知不等式(1 6)成立.再由引理1易证A具有唯一性1 0,证毕.定理4令M是一个线性空间,(X,)是一个完备b同态的PM空间.设映射:MM满足(2ax,0,0)(22a bN t)(x,0,0)(t),xM,且对所有的x1,x2,xnM和0N0.由该式可得:(Tmf-f)(2bN)m-1+2bm-1i=1(2bN)i-12bmi=1(2bN)i-12b1-2bN.由C a u c h y收敛定理知,Tm(f)是收敛到Q的1 0,故上式可变形为(Q-f)2b1-2bN.于是有:(Q(x)-f(x)2b1-2bNt (x)(t)=(x,0,0)(22bNa-12t).再由上式可得(Q(x)-f(x)t2bNa-12(1-2bN)(x,0,0)(t),xM,故不等式(2 5)成立.由引理1易证Q具有唯一性1 0,证毕.定理5令M是一个线性空间,(X,)是一个完备b同态的PM空间.设映射:MM满足(s2ax,0,0)2i a bN2t (s x,0,0)(t2),xM,且对所有的x1,x2,xnM,0N12b,s-1,1和i1,2满足:l i mm m i n(2a mx1,2a mx2,2a mxn)2i a b m2t ,(-2a mx1,-2a mx2,-2a mxn)2i a b m2t =1.再设映射f:M(X,)满足式(1 4),且对所有的x1,x2,xnM满足不等式(f(2x1+x2+xn)+f(x1+2x2+xn)+f(x1+x2+2xn)-(n+2)f(x1+x2+xn)-ni=1f(-xi)(t)(x1,x2,xn)(t),nN.则对所有的xM,存在唯一的可加映射A:M(X,)和二次映射Q:M(X,)使得:(f(x)-A(x)-Q(x)(t)m i n(x,0,0)Na-12(1-2bN)2t ,(-x,0,0)Na-12(1-2bN)2t ,(x,0,0)2bNa-12(1-2bN)2t ,(-x,0,0)2bNa-12(1-2bN)2t .(3 1)证明 令f0(x)=12f(x)-f(-x),则根据f0的奇性有f0(-x)=-f0(x),且对所有的411 第2期韩玥,等:PM空间中一类n变量混合型泛函方程的稳定性x1,x2,xnM有:(f0(2x1+x2+xn)+f0(x1+2x2+xn)+f0(x1+x2+2xn)-(n+2)f0(x1+x2+xn)+ni=1f0(xi)(t)m i n(x1,x2,xn)(t2),(-x1,-x2,-xn)(t2).由定理3知,对所有的xM存在唯一的可加映射A:M(X,),使得:(A(x)-f0(x)t m i n(x,0,0)Na-12(1-2bN)2t ,(-x,0,0)Na-12(1-2bN)2t .(3 2)再令fe(x)=12f(x)+f(-x),则根据fe的偶性有fe(-x)=fe(x),且对所有的x1,x2,xnM有:(fe(2x1+x2+xn)+fe(x1+2x2+xn)+fe(x1+x2+2xn)-(n+2)fe(x1+x2+xn)-ni=1fe(xi)(t)m i n(x1,x2,xn)(t2),(-x1,-x2,-xn)(t2).由定理4知,对所有的xM存在唯一的二次映射Q:M(X,),使得:(Q(x)-fe(x)t m i n(x,0,0)2bNa-12(1-2bN)2t ,(-x,0,0)2bNa-12(1-2bN)2t .于是再由式(3 2)即可得到式(3 1),证毕.参考文献:1 WANG Z H.A p p r o x i m a t e m i x e d t y p e q u a d r a t i c-c u b i c f u n c t i o n a l e q u a t i o nJ.A i m s M a t h e m a t i c s,2 0 2 1,6(4):3 5 4 6-3 5 6 1.2 KA R TH I K E YAN S,CHOONK I L P,P A L AN I P,e t a l.S t a b i l i t y o f a n a d d i t i v e-q u a r t i c f u n c t i o n a l e q u a t i o n i n m o d u-l a r s p a c e sJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e,2 0 2 1,2 6(1):2 2-4 0.3 MUTHAM I L A R A S I C,S AN T R A S S,B A L A S U B R AMAN I AN G,e t a l.T h e s t a b i l i t y a n a l y s i s o f a d d i t i v e-q u a r t i c f u n c t i o n a l e q u a t i o nJ.M a t h e m a t i c s,2 0 2 1,9(2 2):2 8 8 1-2 8 9 6.4 T AM I L VANAN K,L E E J R,P A R K C.U l a m s t a b i l i t y o f a f u n c t i o n a l e q u a t i o n d e r i v i n g f r o m q u a d r a t i c a n d a d d i t i v e m a p p i n g s i n r a n d o m n o r m e d s p a c e sJ.A i m s M a t h e m a t i c s,2 0 2 1,6(1):9 0 8-9 2 4.5 TAM I L VANAN K,A L KHA L D I A H,AG A RWA L R P,e t a l.F i x e d-p o i n t a p p r o a c h:U l a m s t a b i l i t y r e s u l t s o f f u n c t i o n a l e q u a t i o n i n n o n-A r c h i m e d e a n f u z z y-2-n o r m e d s p a c e s a n d n o n-A r c h i m e d e a n B a n a c h s p a c e sJ.M a t h e-m a t i c s,2 0 2 3,1 1(2):2 7 0-2 9 3.6 A G I L AN P,A LMA Z AH M A,J U L I E T R A J A K,e t a l.C l a s s i c a l a n d f i x e d-p o i n t a p p r o a c h t o t h e s t a b i l i t y a n a l y s i s o f a b i l a t e r a l s y mm e t r i c a d d i t i v e f u n c t i o n a l e q u a t i o n i n f u z z y a n d r a n d o m n o r m e d s p a c e sJ.M a t h e m a t i c s,2 0 2 3,1 1(3):6 8 1-6 9 9.7 F U L L,L I U Q,L I Y J.O n t h e s t a b i l i t y o f o r t h o g o n a l l y J e n s e n a d d i t i v e a n d q u a d r a t i c f u n c t i o n a l e q u a t i o nJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 2 3,5 1 9(1):1 2 6 7 4 4.8 KOUR O S H N.B a i r e s t h e o r e m i n p r o b a b i l i s t i c m o d u l a r s p a c e sJ.L e c t u r e N o t e s i n E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e,2 0 0 8,2 1 7 1(1):9 1 6-9 1 7.9 KHAM S I M.Q u a s i c o n t r a c t i o n m a p p i n g s i n m o d u l a r s p a c e s w i t h o u t 2-C o n d i t i o nJ.F i x e d P o i n t T h e o r y&A p p l i-c a t i o n s,2 0 0 8,2 0 0 8(1):1-6.1 0 Z O L F A GHA R I S,E B A D I AN A,O S T A D B A S H I S,e t a l.A f i x e d-p o i n t a p p r o a c h t o t h e H y e r s-U l a m s t a b i l i t y o f a n AQ f u n c t i o n a l e q u a t i o n i n p r o b a b i l i s t i c m o d u l a r s p a c e sJ.N o n l i n e a r A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n,2 0 1 3,4(2):8 9-1 0 1.511