物理电学习题第四章.pdf

习 题4.1.1 很定电流场 J=Ji（其中 J 为常数，i 为沿 x 轴正向的单位矢量）中有一半径为 R 的球面（见附图）。（1）用球坐标表示出球面的任一面元的 J 通量 dI；（2）用积分的方法求出由 x0 确定的半球面的 J 通量 I；解：（1）cosdIj dsji rdsjds=?而方向余弦：cossincoscosxrRRRR=2sincosdsR=22sincosdIjRd d =（2）因被yoz平面所截，2222004cossinIdIjRdd =222200114sinsin224jRj R=通过前面半球的 j?线数与通过过 O 圆平面的 j?线数相等。4.2.1 如图所示的电路中，求：（1）开关 S 打开时 A、B 间的总电阻；（2）开关 S 闭合时 A、B 间的总电阻。解：（1）当 K 断开时，电路图如下（1），由图可得知：225abR=（2）当 K 闭合时，电路图如下（2），由图可得知：208abR=4.2.2 求附图所示各电路图中 A、B 间的总电阻。解：等效电路图（a）（g）如下：（a）1abRK=，（b）4.5abR=（c）1.2abR=（d）7.4abR=（e）5abR=（f）1.5abR=（g）14abR=4.2.3 当附图中的 R1为何值时 A、B 间的总电阻恰等于 R0？解：由11010110()()R RRRRRRRR+=+=+总解得：013RR=4.3.1 用电阻率为的金属制成一根长度为l、内外半径分别为 R1和 R2的导体管，求下列三种情况通过管子的电阻：（1）电流沿长度方向流过；（2）电流沿径向流过；（3）把管子切去一半（如附图），电流沿图示方向流过。解：（1）电流沿长度方向流过，则各截面面积相等，有2221()lRRR=（2）电流沿径向方向流过，各截面面积不相等，有 2121ln22RRRdrRdRrllR=（3）把管子切去一半，电流沿图示方向流过，考虑离轴线为 r，厚度为 dr 的薄半圆片，则其电阻为：rdRldr=又因为各电阻不一样，各电阻上的电流分布也不一样，各段电阻相当于并联，则有212111lnRRRldrlRdRrR=，即有：211lnRRlR=4.3.2 用电阻率为（常量）的金属制成一根长度为 L、底面半径分别为 a 和 b 的锥台形导体（见附图），（1）求它的电阻；（2）试证明当 a=b 时，答案简化为L/S（其中 S 为柱体的横截面积）解：假定 I 沿轴线流过任意横截面的j?是均匀的，建立坐标如图所示 则有：2dxdRr=积分得：2dxRdRr=其中x，r为变量，若将统一为x的变量，x的变化范围为：00 xxl+由0ax tg=，0()bxl tg=+解出：0Laxba=，batgl=又()x barxtgl=2222()x basrl=002222222()()xlxdxldxldxRrx babax+=220011()llbaxxlab=+若将变量统一为r，则r的变化范围为：0()ba，或由ab由badrtgldx=得：ldrdxba=222()()badxl drldrRrrbabar=11()llbaabab=当ab=时：2llRas=4.3.3 球形电容器内外半径为 a 和 b，两极板间充满电阻率为的均匀物质，试计算该电容器的漏电电阻。解：对漏电电阻，其内部电极电位差，电流沿径向从高电位向低电位流过，则有：24dxdRr=积分得：211()()444badxbaRdRrabab=4.3.4 直径为 2mm 的导线由电阻率为83.14 10m的材料制成，当 20A 的电流均匀地流过该导体时，求导体内部的场强。解：根据jE=?，得82323.14 10200.23.14(10)jIVEmR=4.3.5 铜的电阻温度系数为30/4.3 10C，在00 C时的电阻率为81.6 10m，求直径为 5mm、长为 160km 的铜制电话线在025 C时的电阻。解：3830232160 10(1)1.6 10(14.3 1025)1443.14(2.5 10)lRtr=+=+=4.3.6 将同样粗细的碳棒和铁棒串联起来，适当地选取两棒的长度能使两棒的总电阻不随温度而变，求这时两棒的长度比。解：当两者串联起来时，其总阻值为：00(1)(1)CFCFCCFFllRRRttss=+=+总 .（*）其总阻值不随温度变化而变化，即0dRdt=总将（*）式对温度t求导并另其等于 0，即000CFCCFFllss +=得到：008.7135040FFCFCCll =4.3.7 某仪器中要一个“200,2W”的电阻，手头有标明“50，1W”的电阻及“150，1W”的电阻各一个，是否可以代用？解：标有“220,2W”的电阻：21()URWV=额，0.01()WIAR=额标有“50,1W”的电阻：7.07()URWV=，0.14()WIAR=标有“150,1W”的电阻：12.25()URWV=，0.08()WIAR=将“50,1W”与“150,1W”的电阻串联起来，可得：7.07 12.2519.3321()V+=所以不能代替。4.3.8 有 100 欧、1 千欧、10 千欧三个电阻，手头有表明“50 欧，1 瓦”的电阻及解：（1）由14WW=额，得42min114()102 10WIAR=额所以 ab 两端的电压为：min212 10abUIR=34总额（100+10+10）=0.5 111=55.5(V)（2）由2WI R=，得到：0.01()IA=30.01 1010()UV=，311015.8()4URWV=额21000.011000.01()PW=0.01 1001UV=，11005()4URWV=额 没有超过241040.01101()PW=40.01 10100()UV=，411025()4URWV=额 已超过4.4.2 在如图所示的电路中，当滑动变阻器的滑动触头在某一位置时，安培计（内阻可忽略）的读数为0.2A，伏特计（内阻无限大）的读数为1.8V。当滑动触头在另一位置时，安培计和伏特计的读数分别为0.4A和1.6V，求电池的电动势和内阻。解：由11UI r=+和22UI r=+可解出：21121.8 1.610.40.2UUrII=1.80.2 12()V=+=4.4.3用电动势为，内阻R内的电池给阻值为R的电阻供电，在保持和R内不变的情况下改变R，试证当R=R内时，求：（1）电阻R吸收的功率最大；（2）R所吸收的最大功率为：2244mPRR=内。解：由功率可得：2()PRRr=+当其最大值时，则有0dPdR=即：2224()2()0()RrRRrRr+=+222()2()0RrRRr+=2()2()RrR Rr+=+解得：Rr=所以最大功率为：222max22()44PrrrrR=+4.4.4 附图中140R=，320R=，4R=30，通过电源的电流I=0.4A，UAB=20V，求R4R=302及电源电动势。解：因为4ABUIR=+，40.4 302032()ABIRUV=+=124312()R RI RRRR=+1432143()120RIRIRRIRIRIR=+4.4.5 附图中16V=，210V=，13R=，21R=，R=4，求UAB、UAC、UCB。解：12126 102()3 14IARrr+=+112 360()abUIrV=11228()acUIrIrV=+=228()abUIrV=+=4.4.6 如果流过附图中的8欧电阻的电流是0.5A，方向向右，求UAC。解：由图可知80.5IA=，则160.25IA=200.50.250.251IA=+=由于分流作用：2069 18619 184202II+=+62022IIA=69 1812()9 18acUIV=+4.4.7 求附图中A、B、D、E各点的电势。解：因在3R所在的支路上有电容器 则3R上无电流，3bU=又因在1R所在的支路被短接，则1R上无电流，1dU=又2cU=2244423aBaUI RRURR=+4.4.8 附图中100AR=，0200R=，R=50，若开关S1和S2同时断开与同时闭合时通过RA的电流相等，求RB解：12KK、同时打开，0AAIRRR=+.（1）12KK、同时闭合：01ABAABAABABR RIR RR RRRRR=+（2）由题意，此两种状态下是相等的，则（1）=（2），可解出：0ABR RRR=4.4.9附图中O点接地。（1）求A点和B点的电势；（2）若三个电容器起始时不带电，求它们与A、B、O相接的各极奥博内上的电荷。解：电容器对直流断路，由闭合电路的欧姆定律可得：1020240.12 1023 1728I+=+（1）0.1 2 100.1 287AoAUU=+=0.1 324 0.1 1726BoBUU=+=（2）三个电容器开始时是不带电，则有()()0ABCQQQ+=而AACAQUC=，BBCBQUC=，COCCQUC=()()()0ACABCBOCCUUCUUCUUC+=代入数据得：5551066 10CU=，即13.2()CUV=613.2 10 10132()CCCQU CmC=4.4.10 附图中的用电势差计测电池的电路图，实际的电势差计在标准电阻RAB上直接刻度的不是电阻值，也不是长度，而是各长度所对应的电势差的值。图中R内代表被测电阻的内阻，Rm=100欧为被测电池的负载电阻。实验开始时，S2断开，S1拨在1处，调节Rn使流过RAB的电流准确地达到标定值，然后将S1拨在2处，滑动C，当检流计G指零时，读得UAC=1.5025V，再逼和开关S2，滑动C，当G指零时读得ACU=1.4455V，试根据这些数据计算电池内阻R内。解：当打开2K，将1K先后拨到1和2处，此时0GI=可得到：ACxU=.（1）当闭合2K时:ACACxxmUUIrrR=.（2）联立（1）（2）可得：4.0r=4.5.1 附图中112V=，22V=，11.5R=，32R=，21IA=，求2R的阻值及电流13II、。解：因为132III+=，13311I RI R=+23322I RI R=+可解得：24R=，1343IIA=4.5.2 求附图中两个未知电动势12、的数值和实际方向。解：对节点a有：12abI=+（1）由回路得：1201(1 6)(4 1)abI+=+（2）12(4 1)2(12)abI+=+（3）联立（1）（3）得：118V=，1abI=218(1)(4 1)2(12)7V=+=18(1)(4 1)13abUV=+=4.5.3（1）求附图中A、B两点间的电势差。（2）把A、B两点接上，求流过12V电池的电流。解：当ab断开时：12841222 1 19I=+2282109abUIIIV=+=当ab连接时：123III=+1212 10(1 12)(1 3)II=+23108(1 3)(2 12)II=+解得：10.464IA=4.5.4附图中24V=，180R=，2240R=，35120RR=，问4R等于多大时才能使流过它的电流4I为0.125A？解：蛇各支路的电流方向，各回路的绕行方向如图，对节点A：13III=+对节点B：125III=+对节点C：24III=+对回路1：1155330I RI RI R+=对回路2：2244550I RI RI R=对回路3：3344I RI R+=联立上面6个式子可解出：448R=4.5.5 已知附图中各电源内阻为零，A、B两点电势相等，求电阻R。解：123III=+，（1）13(26)6II R+=，（2）23(22)26II R+=+（3）12620ABUII=（4）由（2）（3）得：12842II=（5）由（4）得：1213II=（6）由（5）（6）得：232I=（7）由（1）（6）（7）得：32I=（8）由（2）（6）（8）得：1R=又111136RR=+得：2R=4.5.6求附图所示二端网络的电阻RAB。解：设电流12345IIIIII、的方向和abU，则对节点A：12I II=+（1）对节点B：34I II=+（2）对节点C：135III=+（3）对回路1：1524(2r IIII+）=（4）对回路2：345(2rIII+）=0（5）又132abUI rI r=+（6）ababURI=（7）（1）（2）代入（4）得：13420I rI rrI+=（8）（2）（3）代入（5）得：3140I rrIrI=（9）（7）代入（8）得：1912022abrIrIU=（10）（7）代入（9）得：1230abUrIrI=（11）9(10)3(11)2+得：399602ababUUrIrI+=即：1.4ababURrI=4.6.2 用12根阻值为R的均匀电阻丝搭成一个立方体（见附图），从A、B两端引出导线成为一个无源二端网络，求此二端网络的等效电阻Re。（提示：用恒流源I供电，借对称性分析各边的电流情况后求A、B之间的电压。）解：设电流I的流向和电流分布如图，则有 abaccddbUUUU=+53636IIIRRRIR=+=56ababURRI=4.6.3 求附图所示有源二端网络N的开路电压和除源电阻。解：等效电路图如右，则有 0124824UV=+2 467.324eR=+=+4.6.4附图中1240V=，14R=，262RR=，35R=，410R=，58R=，用戴维宁定理求通过3R的电流3I。解：根据多次的电路等效，见变化图（a）（b）（c）则有：83063.538556IA=+4.6.5附图中已知100V=，40V=，10R=，30R=，用戴维宁定理求R支路上的电流。解：见等效电路图右：则有：0100 105010 10rUVrr=+等效电阻：2erR=00401230 10eUUIArR=+（负号表示电流方向与图中方向相反）4.6.7 附图（a）中每个电阻（含Ra）的阻值均为3欧，电源内助为零，电动势未知（但都相同），已知通过Ra的电流为2A，方向如图示。（1）在Ra所在支路中再串入一个6欧的电阻（如图（b），求此支路的电流（大小和方向）；（2）在Ra上并联一个6欧的电阻（如图（c），求该电阻的电流（大小和方向）。解：（a）等效电路得：3eR=2eseARR=+得：12eV=（b）电路等效图：得：1216336eseIARR=+（c）见等效电路图（c）得：122466 33636esesIARRR=+624 20.86IA=4.6.10戴维宁定理证明：惠斯通电桥电路中零内阻检流计与恒压源互换位置（见附图）时，检流计读数不变。解：在惠斯登电桥平衡时，1423R RR R=，0GI=若只将检流计与电源互换，用戴维宁定理，将AB两点断开，则有1224ABUI RI R=而 112234()()I RRIRR=+=[phone]()ABRRURRRRRRRR=+又 1423R RR R=0ABU=即：0GI=不变