VaR约束下两个相互竞争保险公司的最优再保险投资策略.pdf

2010Mathematicssification90C25,90C39,91A10Vol.271No.3OperationsResearchTransactionsSep.,2023第2 7 卷第3 期运筹学学报2023年9 月DOI:10.15960/ki.issn.1007-6093.2023.03.001VaR约束下两个相互竞争保险公司的最优再保险投资策略*何新亚1谷爱玲1摘要本本文研究了VaR约束下两个竞争保险公司的最优再保险-投资策略。我们假设保险公司的动态盈余过程用经典的Cramer-Lundberg（C-L)风险模型来描述，该模型中的保费由损失相依保费原则确定。此外，保险公司可以购买比例再保险并投资于一个由一个无风险资产和一个风险资产组成的金融市场，其中风险资产的价格过程由几何布朗运动描述。首先，我们以保险公司相对终端财富的期望效用最大化为目标，建立了VaR约束下的优化问题。接下来，我们利用最优控制理论和动态规划原理解决了相应的约束优化问题。特别地，我们在指数效用下得到了三种不同情形下的纳什均衡策略。最后，通过具体的数值分析，阐述了一些参数对最优再保险策略和最优投资策略的影响，并得到了一些有意义的结论。关键词VaR约束，博奔，拉格朗日函数，KKT条件，纳什均衡策略中图分类号0 2 2 1.3,0 2 2 52010数学分类号90 C25,90C39,91A10Optimal reinsurance investment strategies of two competinginsurance companies under VaR constraints*HE XinyalGU Ailingl,tAbstract This paper investigates the optimal reinsurance-investment strategies of two com-peting insurers under VaR constraints.We assume that the insurers dynamic surplus processes aredescribed by the classic Cramer-Lundberg(C-L)risk model,in which the premiums are determinedby the loss-dependent premium principle.Moreover,the insurers can purchase proportional rein-surance and invest in a financial market consisting of a risk-free asset and a risky asset,where theprice process of the risky asset is described by the geometric Brownian motion.Firstly,we aimto maximize the expected utility of the insurers relative terminal wealth and then establish opti-mization problems with the VaR constraints.In the next,we solve the corresponding constrainedoptimization problems by using the optimal control theory and the dynamic programming princi-ple.Specially,we get three different Nash equilibrium strategies under exponential utility.Finally,we illustrate the effects of some parameters on the optimal reinsurance strategy and the optimalinvestment strategy through specific numerical analysis,and find some interesting results.Keywords VaR constraints,game,Lagrangian function,KKT condition,Nash equilibriumstrategyChinese Library Classification 0221.3,0225收稿日期:2 0 2 1-0 6-2 1*基金项目：国家自然科学基金（Nos.71971070,71903036)1.广东工业大学数学与统计学院，广东广州51 0 52 0;School ofMathematics and Statistics,GuangdongUniver-sity of Technology,Guangzhou 510520,Guangdong,China+通信作者E-mail:227卷何新亚，谷爱玲再保险和投资是保险公司用来转移风险和获得收益的主要工具。近年来，保险公司的最优再保险与投资策略问题是保险精算和金融数学领域的研究热点，而最优控制理论和动态规划原理是处理这些问题的常用方法。在对保险公司最优策略的研究中，不少文献采用期望效用最大化作为优化准则。例如，Gu等通过最大化终端财富的期望指数效用研究了最优超额损失再保险和投资策略问题。Gu等2 通过最大化终端财富的期望指数和幂效用研究了保险公司的最优比例再保险和投资策略。还有一些文献讨论其他的最优准则。比如,Li等3 在均值方差准则下研究了再保险投资策略的均衡问题，并给出相应的均衡价值函数。Bayraktar和Zhangl4在最小化破产概率的优化准则下研究了个人的最优稳健投资策略。在保费原则方面，期望值保费原则是应用最广泛的一个保费原则。例如，Zheng等5 采取期望值保费原则计算再保险费，在失真风险度量如风险价值（Value-at-Risk，简称VaR）和尾部风险价值（TailValue-at-Risk，简称TVaR）下，研究了以保险人风险最小为目标的最优再保险策略问题。Liangl6讨论了期望值保费原则下，跳跃-扩散盈余过程的最优投资和比例再保险问题。此外，还有很多其他的保费原则被采用，比如方差相依保费原则7 ,均值-方差保费原则8 以及损失相依保费原则9。在市场中，由于风险的潜在性和不确定性，很多时候保险公司仅仅凭借购买再保险来控制风险往往是不够的，还需要借助其他的工具来有效地控制风险。众所周知，风险价值(VaR）是一个很有用的衡量市场风险的工具，目前已被全球各金融机构及金融监管机构广泛使用。其定义为在一定概率水平下，某一金融资产(或证券组合)在未来特定的一段时间内的最大可能损失。已有不少文献将VaR约束应用于最优再保险和(或)投资策略的研究中。例如，朱亚茹1 0 研究了VaR约束下两相依风险的最优停止损失再保险问题。王新槐和顾孟迪1 1 通过最大化终端财富的期望效用，研究了两种保险业务风险相互独立和风险相依两种情况下的比例再保险的最优投资策略。曹原1 2 研究了Heston随机波动率市场下，基于VaR约束的动态最优投资组合问题。前面提到的文献大多数都只考虑单个保险公司的最优再保险和(或)投资问题。然而，在竞争激烈的经济社会环境中，从事同一行业的企业之间的竞争是不可避免的。因此一些文献主要研究博奔环境下的最优再保险投资问题。例如，Jin等1 3 通过建立两家保险公司采用最优再保险策略以降低风险的随机微分博奔模型，研究了跳跃-扩散模型中最优再保险策略问题。杨鹏和惠小健1 4 通过保险公司和金融市场之间的博奔，在无风险资产利率满足Vasicek随机利率情形和最大化终止时刻财富的期望效用下寻找最优再保险和投资策略。孔祥宇和荣喜民1 5 以两家保险公司终端财富相对差值绩效最大化为目标，研究了跳跃-扩散模型下保险公司的最优再保险投资策略问题。Chen和Shenl16在最大化保险人和再保险人各自的均值-方差成本函数的优化准则下，研究了随机Stackelberg微分博奔框架下的最优再保险问题最近，Wang等1 7 采用广义均值-方差原则确定保费，在VaR约束下研究了两个保险公司之间非零和随机微分投资与再保险博奔，其中保费率是常数。然而，在保险实务中，很多保险业务的保费率是随着索赔的实现而发生变化的，如损失相依保费原则。损失相依保费原则是由过去的损失和未来估计的损失共同决定的，是一般期望值保费原则的一个拓展。在这种保费原则下，保险费率不再是一个固定的常数，而是随着索赔的实现而发生变化，这显然更切合实际。近些年来，Chen等9 在损失相依保费原则下，研究了最优再保险问题。本文在现有文献的基础上，采用损失相依保费原则计算保费，研究了VaR约束下两个相互竞争保险公司的最优再保险投资策略问题。文中假设两个保险公司购买比例再保险并将其收益投资于同一个金融市场，其中金融市场包含一个风险资产和一个无风险资产，动态盈余过程由经典的C-L风险模型描述，风险资产的价格过程由几何布朗运动描述，同VaR约束下两个相互竞争保险司的最优再保险投资策略3期时以最大化保险公司相对于其竞争保险公司终端时刻财富的期望效用为目标，以VaR约束为风险控制手段，利用最优控制理论、动态规划原理、拉格朗日函数以及KKT条件等方法建立和求解了相应的带约束的优化问题；然后在指数效用下得到了三种不同情形下的纳什均衡策略；最后利用数值算例分析了一些参数对最优策略的影响。本文安排如下：第1 节建立模型，第2 节求解带VaR约束的优化问题，第3 节是数值分析，第4 节是本文的总结。1模型建立令(2,F,P,Ft,0tT)为满足通常条件的完备概率空间，其中T0为有限常数，表示投资期限，Ft表示t时刻之前可获得的所有信息流。本文所有的随机过程都是Ft-适应的。1.1两个保险公司的动态盈余过程假设有两个保险公司，保险公司i的动态盈余过程可以由经典的C-L风险模型描述即R;(t)=Coi+cit-Z;(t),iE1,2,其中coi为保险公司i的初始盈余，c为其保险费率，Z;(t)为保险公司i在t时刻发生的索赔。假设保险公司i的索赔过程由一个带漂移的布朗运动刻画，即dZ;(t)=;dt-;dB;(t),iE(1,2,(1)其中 i0,i0分别表示单位时间索赔的期望值和标准差,B;(t)为一维标准布朗运动。为了考虑两个保险公司业务之间的相关性，我们用pE-1,1表示Bi(t)和B2(t)之间的相关系数。在现实中，保险公司通常是根据过去已经发生的索赔（特别是最近的索赔）来确定保费，也就是说，过去已经发生的索赔在确定保费时占有一定的权重，因此受Chen等9 的启发，我们定义保险公司i过去损失的加权平均值如下M;(t)=(ie-si(t-s)dZ;(s-dt),i e(1,2),其中,dZ;(s-dt)=Z;(s)-Z;(s-dt)代表在较小的时间间隔s-dt,s)的索赔增量,所以M;(t)表示到时刻t为止所有已经发生的索赔的一个指数加权平均值。由定义可知它是一个随机变量，其微分形式为dM;(t)=-(;M;(t)dt+(;dZ;(t),iE1,2。(2)对于任意给定的tE0,T，权重（ie-Si(t-s）关于时间s指数递增，这表明保险公司i更加关注最近发生的损失。由于过去损失所占有的总权重为e-(t-)ds=1-e-st,i(1,2),Jo我们赋予初始估计的损失期望值ui的权重为e-Sit，即pi(t)=e-siti+M;(t),ie(1,2,427卷何新亚，谷爱玲以保证i;(t)在平均意义上代表保险公司i在t时刻的索赔期望值，显然，j对i;(t)的影响随着时间呈递减趋势。参数（i0表示保险公司i对过去已经发生的索赔的敏感度，即（；越大，对过去损失越敏感，尤其是对最近发生的损失越敏感，这是因为在上式中；对i;(t)的影响随着时间的推移而减小,所以过去损失 M;(t)对i(t)的影响随着时间的推移而增大；S；越小，对过去损失越不敏感。特别地，当（=0 时，加权平均等于零，表示保险公司i不关注被保人过去已经发生的索赔，此时索赔的期望值为i。在考虑赋予过去所有已经发生的索赔一定权重来确定保费情况下，索赔过程（1）转化为：dZ;(t)=(e-Siti+Mi;(t)dt-oidB;(t),iE1,2。(3)当(i=0时,模型(3)退化为模型(1)。将式(3)代入式(2)得dM;(t)=(ie-st;dt-(io;dB;(t),i E(1,2。(4)用i;(t)代替传统的期望保费原则中的期望i，此时保费由过去的损失和初始估计的期望损失共同决定，我们把这种扩展保费原则称为损失相依保费原则9。在损失相依保险原则下，保险费率不再是一个固定的常数，而是随着索赔的实现而变化。具体来说，保险费率为c;(t)=(1+0:)(e-S*t i+M;(t),iE(1,2,其中，6；0 表示保险公司i的相对安全负荷。假设保险公司可以通过购买比例再保险或者获得新的保险业务来分散业务风险或者提高公司收益。假定对任意给定的tE0,T,保险公司i的风险保留水平ai(t)E0,o)。当ai(t)E0,1)时，意味着保险公司i购买比例再保险，在这种情况下，对于每一次索赔，保险公司i只需承担索赔总额的1 0 0 a;%部分，剩余1 0 0(1 ai)%部分由其相应的再保险公司承担；当a;(t)(1,o)时，意味着保险公司i获得新的保险业务。我们称a;(t),tE0,T)为保险公司i的再保险策略。假定再保险并不便宜，即；0表示无风险利率。由几何布朗运动描述的风险资产价格过程P(t)为dP(t)=rdt+odW(t),P(0)=p,P(t)其中,rro,分别表示风险资产的收益率和波动系数,W(t)为独立于B1(t),B2(t)的一隹标准布朗运动。53期VaR约束下两个相互竞争保险司的最优再保险投资策略1.3两个保险公司的动态财富过程假定对任意的t E0,T,定义再保险投资策略元i:=;(t)=(a;(t),bi;(t),iE(1,2),其中a;(t)为保险公司i在t时刻的风险保留水平,b;(t)为保险公司i在t时刻投资于风险资产的金额。设X(t)为保险公司i在策略；下的财富过程，则投资于无风险资产的金额为Xi(t)b;(t)，从而保险公司i在策略i下的动态财富过程为dPo(t)dP(t)dXTi(t)=dRi(t)+(X,i(t)-b;(t)+b;(t)Po(t)P(t)=roX(t)+(e-sit a+M;(t)(e;-n)+(e-st a+M;(t)nia;(t)+(r-ro)b;(t)dt+0;a;(t)dB;(t)+b;(t)dW(t),(6)初始条件为X(0)=ci，其中iE1,2)。1.4动态VaR约束接下来，我们引入动态VaR约束。由伊藤公式，我们得到随机微分方程（6）的一个解为X(s)=ero(s-t)xi(t)+ero(st-1)(e-sil i+M;(l)(e;-ni)Jt+(e-sl ia+M;(1)n:a(1)+(r=ro)b;()dlSiSiero(s;-1);a;(l)dB;(l)+ero(s-l)gb;(l)dW(l),(7)+tt其中sit,i1,2。取si=t+hi，其中hi0且充分小,任取lt,t+hi),用(ai(t),b;(t),M;(t)近似代替(ai;(l),b;(l),M;(l),即 Vl E t,t+hi),ai(l)a;(t),b;(I)b;(t),M;()M;(t),i E 1,2)。由于再保险策略只能在离散的时间点上调整,投资策略是基于某一时刻上的盈余来制定的，而过去的总赔偿额也是在离散的时间点上发生变化的，所以这个假设是合理的。因此式（7)变为erohiXT(t+h)erohiX,i(t)+(;-ni+niai(t)M;(t)+(r-ro)b;(t)Toerohi-Sit-e-Ci(t+hi)(Qi-ni+niai(t)i十ro+Cirt+hirt+hi+;a;(t)ero(t+hi-1)dB;(l)+b;(t)ero(t+h:-1)dW(1)。七t受Chen等1 8 的启发，我们将区间t,t+hi）内发生的损失定义为AX(t):=erohiXt(t)-X*(t+hi),ie(1,2)。假定x-=max0,-x),x+=max0,x)。给定概率水平iE(0,1),及时间范围i0,用VaRgi,hi定义在时刻t的VaR,即VaRqi,h:=inf(Hi 0:P(X T(t)H:/Ft)i)=(Q-h)-,其中Qi,hi:=sup(H;E R:P(-Xi(t)H;I F)我们给出VaR约束条件如下：erohi-(it-e-Si(t+hi)ATi(t)B(t)-1(:)CT(t)Ri。(8)TOro+Ci1.5保险公司的最优问题定义1 (允许策略)如,T,元（t(a;(t),b;(t)满足如下条件:a2(s)+b2(s)ds)0;(2)EJt(a?(s)+b2(s)ds)0,-0?W(t,m a)0,即Ol0,Hl=0.根据Wang等1 7 第3 章的相关内容，我们可以知道Hessian 矩阵OH，IH 均为半正定矩阵，所以该约束优化问题（1 1)为凸优化问题。引入拉格朗日函数：erohi元，7L;(Ti,ei)=-Dwi(t,ti,mi)+ei元Toerohi-Cit-e-Si(t+he)BT(t)-1(i)CT(t)-R,ro+Si其中，ei:=;(t)0为拉格朗日乘子。接下来，定义拉格朗日对偶函数：g(ei):=inf.,L;(i,ei),TiEIl,则拉格朗日对偶问题为supg(ei)。6i01027卷何新亚，谷爱玲定义2(对偶间隙1 9)原目标函数最小值与对偶函数最大值之差,即:=infO(i)-sup g(ei),TiEIl;6i0称为对偶间隙。如果=0，则为强对偶，此时对偶函数的最大值即为原目标函数的最小值；否则为弱对偶。如果选择允许策略元i=(0,0)，则eroherohi-(it-e-(i(t+hi)I(i)=I(0,0)=(gi-ni)mi(0;-n)i-Ri0,iE1,2,即VaR约束对两个保险公司都是有效的,此时erohierohi-Cit-e-Si(t+hi)BTi(t)+-1(i)CTi(t)+Ri=0,ro+(i其中ATi(t)=(;-ni+nia;(t)mi+(r-ro)b;(t),BTi(t)=(;-ni+nia;(t)i,e2rohiCT(t)=(o?a2(t)+6262(t)。2r0将a;(t)和b;(t)代入上式并整理得Di(t)(si(t)Si(t)+si(t)e;(t)+$(t)+D2(t)(si(t)Si(t)+E2(t)e;(t)+$(t)+Dg(t)=(其中(erohi-1)(r-ro)Di(t):=TOerohi-1erohi-Sit-e-Si(t+hi)Ds(t):=nimi+nii，(19)Toro+Si(eroh-1)erohi-cit-e-(i(t+ha)Ds(t):=(0;-ni)mi+(0;-ni)i+Sg(t)。TOTo+(i因此,在VaR约束有效的情况下,KKT条件退化为以下形式Di(t)ss(t)+Ds(t)ss(t)+Ds(t)ai(t)=(si(t)Si(t)+(t)e;(t)+$(t),(20)(b;(t)=(si(t)Si(t)+si(t)e;(t)+s(t)。如果式(2 0)的解元;(t)=(a;(t),b;(t)满足Di(t)si(t)+Di(t)ss(t)+Dg(t)0,;(t)=0,i,(1,2),ij,即VaR约束对保险公司i是有效的，对保险公司5是无效的，此时，保险公司i和保险公司的纳什均衡策略分别为=(a(t),b(t)=(a;(t)+,(b;(t)+),=(a,(t),b)(t),即Di(t)si(t)+Di(t)s(t)+Di(t)a;(t)=(si(t)Si(t)+E2(t)ei(t)+s(t),b;(t)=(si(t)Si(t)+Ei(t)e;(t)+S(t),(e-sg+m.)mwg,(t,sj.m)-ojc.Wg.m.(t,tj,mi)(23)p入ji味(t)=(a;(t)+,-ogWa,e,(t,ij,m,)i(r-ro)Wi,(t,tj,m;)b(t)=-02W号+入;(6;(t)+。,(t,aj,mj)以下定理验证了Wi(t,ai,mi）为带VaR约束的优化问题(1 0)的解。S（1 0）时用。定理1(核验定理)令:=0,T)R R+,:=0,T R R+,Wi(t,i,mi)1,2.2(e)nc()满足二次增长条件,即对任意的(t,i,mi)e,存在常数K0,使得Wi(t,i,mi)0 为保险公司i的绝对风险规避参数。从而，带VaR约束的优化问题表示为：Vi(t,ti,mi)=max E文xii(t)=ti,M;(t)=ma(24元iEIl,erohierohi-(it-e-Si(t+hi)S.t.-A元(t)BTi(t)-1(i)CT(t)Ri。(25)Toro+Ci定理2 保险公司i的优化问题（2 4)的最优值函数为：1Vi(t,ti,mi)=-=exp-Q(t)i+Qi(t)mi+Q2(t),iE1,2),00,2(t)0,此时,如果(3 0)式的解元;(t)=(a;(t),b;(t),iE(1,2)满足不等式(2 1),那么，保险公司i的纳什均衡策略为 =(at(t),bt(t)=(a;(t)+,(b;(t)+),i E(1,2)。Di(t)s(t)+Di(t)ss(t)+Dg(t)(30)a;(t)=(si(t)Si(t)+(t)e;(t)+$(t),(b;(t)=(si(t)Ss(t)+i(t)e;(t)+s(t)。15VaR约束下两个相互竞争保险司的最优再保险投资策略3期情形2:VaR约束对两个保险公司都是无效的，即1(t)=2(t)=0,此时保险公司i的纳什均衡策略为元=(a,(t),b(t),ie(1,2)。g22(e-1t1+m1)m1-01(1Q1(t)+pA101021(e-S2t 2+m2)n2-02(2Qi(t)+ai(t)(1-p2入1 4 2)0 1 0 2 1 7 2 er0(T-t)(r-ro)(2+入1 1)十bi(t)=(1-入1 4 2)g212ero(T-t)021(e-52t 2+m2)n2-02(2Qi(t)+p)20102/2(e-S1t 1+m1)n1-0(1Q1(t)+a2(t)=(1-p2入1 4 2)0 1 0 2 1 7 2 ero(T-t)(r-ro)(1+入2 2)62(t)(1-入1 入2)2 1 2 er0(T-t)情形3:VaR约束对保险公司i是有效的,对保险公司是无效的,即e;(t)0,e;(t)=0,此时保险公司i的纳什均衡策略为元=(a(t),b(t)=（(a;(t)+,(b;(t)+),保险公司j的纳什均衡策略为=(a(t),b(t),z,jE(1,2),ij。Di(t)si(t)+Di(t)s(t)+Di(t)ai(t)=(si(t)Si(t)+E2(t)e;(t)+s(t),b;(t)=(si(t)Si(t)+Ei(t)e;(t)+g(t),(32)a(t)=(e-stuj+m;)ni-ogS;Qi(t)pA,oi(a;(t)+,0jero(T-t)(r-ro)+入;(b;(t)+。其中,Si(t),S(t),Di(t),D(t),Dg(t)由式(1 8)和(1 9)给出,si(t),$(t),s(t),s(t),(t)为-1(i)Ve2rohi-1si(t)=一270e2ro(T-t)Wi(t,ti,mi)(erohi-1)(ro+C.)nmi+lerohs-st-S(t+ha)ronili2(t)=oiro(ro+0nie2ro(T-t)Wi(t,ti,mi)(e-Sst i+ma)n-o?;Qi(t)PAia;(t),(33)$3(t)=oiero(T-t)(erohi-1)(r-ro)T-ro+入;bs(t)。证明我们先考虑无VaR约束时的优化问题(2 4)。则猜解的形式为1Wi(t,ti,mi)=exp(-%Qi(t)a;+Qi(t)mi+Q2(t),iE(1,2),0t T,(34)满足边界条件Qi(T)=1,Qi(T)=0,Q(T)=0。1627卷何新亚，谷爱玲对式(3 4)分别关于t,i，m i 求偏导,得Wi(t,ai,mi)=-%Qot(t)s;+Qit(t)mi+Q2t(t)Wi(t,i,mi),(35)Wi,(t,ti,mi)=-iQi(t)Wi(t,si,mi),(36)Wita,(t,i,mi)=(Q(t)Wi(t,ti,mi),(37)Wsm(t,si,mi)=-rQi(t)Qi(t)Wi(t,i,ma),(38)Wm,(t,ti,mi)=Qi(t)Wi(t,ti,mi),(39)Wmm.(t,i,mi)=(Qi(t)Wi(t,i,mi)。(40)将以上偏导数代入到HJB方程(1 2)中,即Wi(t,i,mi)+Ws,(t,i,mi)roz;+(e-Sstui+mi)(0-ni)-入(e-Sstj+mi)(0j-ns)+(e-Siti+mi)na;(t)-入;(e-Sit j+m;)nja;(t)+(r-ro)(b(t)-入ib(t)+p;ojojsia,(t)-o?(iat(t)Ws;m:(t,i,ma)+(ie-Sit:Wm.(t,ti,m)+o?C?Wmimi(t(t,ti,mi)=0,整理得-Qit(t)+roQi(t)z;+Qit(t)-%Qi(t)(0;-Ni+nia(t)mi+Q2t(t)-iQi(t)e-sat:(0:-ni+nia,;(t)-入;(e-Sst j+m;)(e;-ni+nja(t)+(r-ro)(6(t)-Aib;(t)+(Qi(t)o2(a;(t)2+X2;(ag(t)-2p);0;0jat(t)a(t)+2(b(t)-入;b;(t)-Qi(t)Qi(t)p入;0 i0;ia;(t)-0?ca,(t)+Qi(t)ce-sti+(Qi(t)o2c?=0.令i,mi的系数为0,得-%iQit(t)+roQi(t)=0,Qit(t)-Qi(t)(0;-ni+nia;(t)=0,Qzt(t)-Qi(t)e-Sst i(e;-n+niat(t)-入(e-Sst j+mi)(e;-ni+nja(t)+2(b(t)-入b(t)-Qi(t)Qi(t)入0;0;Sia(t)-02Sia(t)+Qi(t)se-Sst i+(Qi(t)o?C?=0。利用边界条件Q%(T）=1,Q i(T）=0,Q 2(T)=0,解上面三个偏微分方程得式(2 7),(28)和(2 9)。将式(3 6),(3 7)和(3 8)代入式(1 7)中得到式(3 3)。将式(3 6),(3 7)和(3 8)代入到式(2 2)中,得(e-siti+mi)ni-o?(Qi(t)p入;oa.(t)=i(t)0?ero(T-t)0i(41)7o)十b(t)=入;b(t)62;ero(T-t)173期VaR约束下两个相互竞争保险司的最优再保险投资策略接下来，我们在指数效用函数下，将VaR约束条件(2 5)考虑进来。联立式(2 0)和(4 1),我们得到定理2 中三种不同情形下的最优策略。3数值分析本节中，我们采用期望保费准则，即在G1=C2=0,针对指数效用下，带VaR约束以及不带VaR约束情形下的结果进行数值分析。值得注意的是，我们只讨论了保险公司1 的最优策略，对保险公司2 可做类似讨论。我们假设模型参数在当前时刻t=0下。借鉴Wang等1 7 的文献，取基本参数值如下：r=0.15,ro=0.03,h1=h2=0.08,1=2=0.001,T=10,R1=R2=0.4,1=2,01=0.15,n1=0.45,01=4,入1 =0.5,1 =0.4,2=2.5,02=0.2,n2=0.5,02=6,入2 =0.6,2 =0.2。3.1最优再保险策略的数值分析本小节，我们讨论了绝对风险规避参数1 和保险公司1 对保险公司2 终端时刻财富的敏感度入1 对最优再保险策略i(0)的影响。图1 中(a）及(b)分别描述了在无VaR约束和有VaR约束情形下的最优再保险策略随1 及入1 的变化趋势。首先，我们分析1 对最优再保险策略a(0）的影响。由图1 看出，不论有无VaR约束，最优再保险策略(0)都是随着的增大而减小，这表明越大，保险公司1 对风险的厌恶程度越大，所以他希望将更多的风险转移给再保险公司，即增加购买再保险的比例1a(0),从而降低自身的风险保留水平a(0);将图1 中的(a)、(b 6)两幅图进行对比可以发现，有VaR约束时的最优再保险策略要比无VaR约束时的最优再保险策略低很多，这表明了在有VaR约束的情况下，保险公司1 会以更加谨慎的态度对待风险，即会加大购买再保险的比例以降低自身的风险保留水平a(0)。接下来，我们分析入1 对最优再保险策略ai(0)的影响。由图1 我们发现，不论有无VaR约束，最优再保险策略a(0)都是随着入1 的增大而增大，这表明入1 越大，即保险公司1 对保险公司2 终端时刻的财富越敏感，他越想超越其竞争对手终端时刻的财富，从而减少购买再保险的比例以节省再保险费的开支，达到积累财富的目的；将图1 中的（a)、(b)两幅图进行对比可以发现，在有VaR约束的情况下，最优再保险策略对入1 的变化更为敏感。%和入,对(0)的影响%和入,对(0)的影响0.70.45入=00.400.6入,=0.50.350.5一入=1-入=00.30一入;=0.50.4一入=1(0)00.25*0.30.200.150.20.100.1F0.05000.10.20.30.40.50.10.20.30.40.511(a)无VaR约束(参数p=0.5,=0.6)(b)有VaR约束(参数 p=0.5,=0.6)图1 参数1 和入1 对最优再保险策略ai(0)的影响险1827卷何新亚，谷爱玲3.2最优投资策略的数值分析本小节，我们讨论了绝对风险规避参数1、保险公司1 对保险公司2 终端时刻财富的敏感度入1 和风险资产的波动系数对最优投资策略6(0)的影响。图2 中(a)及(6)分别描述了在无VaR约束和有VaR约束情形下的最优投资策略随1 及入1 的变化趋势。图3中（a)及（b)分别描述了在无VaR约束和有VaR约束情形下的最优投资策略随的变化趋势。首先，我们分析1 对最优投资策略b(0）的影响。由图2 看出，不论有无VaR约束，最优投资策略6(0）都是随着1 的增大而减小，这表明1 越大，保险公司1 对风险的厌恶程度越大，所以他更愿意将更多的资金投资于无风险资产，从而减少购买风险资产的资金bt(0);对比图2 中的(a)、(b)两幅图，我们可以发现有VaR约束时的最优投资策略bi(0)相比无VaR约束时的明显减少，这表明了在有VaR约束的情况下，保险公司1 会以更加谨慎的态度对待风险，即会加大对无风险资产的资金投入，从而减少了对风险资产的资金b(0)投入。接下来，我们分析入1 对最优投资策略b(0)的影响。由图2 我们发现，不论有无VaR约束，最优投资策略b(0）都是随着入1 的增大而增大，这表明入1 越大，保险公司1越想超越其竞争对手保险公司2 终端时刻的财富，所以他会将更多的资金投资于风险资产以期望获得更高的收益，从而达到增加自身财富的目的；对比图2 中的(a)、(b)两幅图，我们发现在有VaR约束的情况下，最优投资策略对入1 的变化不太敏感。%和入,对bi(0)的影响和入,对6 i(0)的影响15018一入=016一入=0一入=0.5入1=0.514一入=1一入=110012(0)910850642000.10.20.30.40.50.10.20.30.40.511(a)无VaR约束(参数p=0,=0.15)(b)有VaR约束(参数p=0,=0.15)图2 参数1 和入1 对最优投资策略6 1(0）的影响对图3，我们只分析对最优投资策略b(0)的影响，入1 对最优投资策略b(0)的影响的分析与上面对图2 的相关分析相同。由图3 看出，不论有无VaR约束，最优投资策略b(0)都是随着的增大而减小，这表明越大，风险资产价格的波动越剧烈，资产收益率的不确定性就越强，所以为了保守起见，保险公司1 就会减少对该风险资产b(0)的持有；从图3 中的（a)、(b)两幅图的对比可知，有VaR约束时的最优投资策略b(O）相比无VaR约束时的明显减少，这说明了VaR约束的存在会使保险公司1 在面对风险时更加保守。4总结本文在两个相互竞争的保险公司购买比例再保险并将其收益投资于同一个由一个风资产和一个无风险资产组成的金融市场的假定下，采用损失相依保费原则计算保费，在193期VaR约束下两个相互竞争保险司的最优再保险投资策略波动系数和入,对b(0)的影响波动系数和入,对b(0)的影响18025一入=0一入,=0160入=0.5一入,=0.5140一入=120入=112015F1008010F604020000.100.110.120.130.140.150.100.110.120.130.140.15(a)无VaR约束(参数p=0,=0.15)(b)有VaR约束(参数p=0,6=0.15)图3 参数和入1 对最优投资策略6 i(0）的影响VaR约束条件下，研究了保险公司基于最大化其相对于竞争保险公司终端时刻财富的期望效用优化准则下的最优再保险投资策略问题。我们首先运用最优控制理论、动态规划原理、拉格朗日函数以及KKT条件等方法建立和求解了相应的约束优化问题；然后在指数效用下得到了三种不同情形下的纳什均衡策略；最后在t=0时刻，分别分析了有无VaR约束时，保险公司1 绝对风险规避参数、保险公司1 对保险公司2 终端时刻财富的敏感度以及风险资产的波动系数对保险公司1 的纳什均衡策略的影响。研究发现：最优再保险策略和最优投资策略与绝对风险规避参数的变化趋势相反，最优再保险策略和最优投资策略与保险公司1 对其保险公司2 终端时刻财富的敏感度的变化趋势相同，最优投资策略与风险资产的波动系数的变化趋势相反；此外，对比有无VaR约束情形下的最优策略，我们还发现，有VaR约束时的最优策略要比没有VaR约束时低很多，这说明了VaR约束确实能够起到风险控制的作用，在直观上也符合控制的预期；并且我们发现在有VaR约束的情况下，保险公司1 对保险公司2 终端时刻财富的敏感度对最优再保险策略的影响比较大，对最优投资策略的影响比较小。参考文献1 Gu A L,Guo X P,Li Z F,et al.Optimal control of excess-of-loss reinsurance and investment for insurersunder a CEV model J.Insurance:Mathematics and Economics,2012,51(3):674-684.2 Gu M D,Yang Y P,Li S D,et al.Constant elasticity of variance model for proportional reinsurance andinvestment strategies J.Insurance:Mathematics and Economics,2010,46(3):580-587.3 Li D P,Rong X M,Zhao H.Equilibrium excess-of-loss reinsurance-investment strategy for a mean-variance insurer under stochastic volatility model J.Communications in Statistics-T