2013年高三数学一轮复习-专题六知能演练轻松闯关-新人教版.doc

2013年高三数学一轮复习 专题六知能演练轻松闯关 新人教版

1．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．
解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，
∴＝，解得m＝3.
∴抽取了研究生学历的2人，本科学历的3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.
从中任取2人的所有基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)．
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．
∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为.
(2)依题意，得＝，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.
∴＝＝.
解得x＝40，y＝5.
2．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.

(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
(3)现在要从第6小组的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知该组a、b的成绩均很优秀，求两人至少有1人入选的概率．
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次测试总人数为＝50(人)．
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．
(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，
∴中位数位于第4组内．
(3)a、b均不入选的概率为，a、b至少有1人入选的概率为1－＝.
3．设函数f(x)＝的定义域为D.
(1)a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，求使D＝R的概率；
(2)a∈[0,4]，b∈[0,3]，求使D＝R的概率．
解：(1)因为a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，
所以(a，b)的所有可能为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种．
要使D＝R，需4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，
那么满足D＝R的(a，b)的所有可能为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种．
所以其概率为P＝＝.
(2)因为a∈[0,4]，b∈[0,3]，所以所有的点(a，b)构成的区域的面积为12，而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|，满足|a－1|≤|b|，a∈[0,4]，b∈[0,3]的点(a，b)构成的区域的面积为7，故所求概率P＝.
4．张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.

(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
解：(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P(A)＝C×3＋C××2＝.
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.
(2)依题意，知X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，
P(X＝2)＝×＝.
随机变量X的分布列如表所示：
X
0
1
2
P

EX＝×0＋×1＋×2＝.
(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y～B(3，)，所以EY＝3×＝.
因为EX<EY，所以选择L2路线上班最好．
5．A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为

X1
5%
10%
P
0.8
0.2

X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3

(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为

Y1
5
10
P
0.8
0.2

Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3

EY1＝5×0.8＋10×0.2＝6，
DY1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
EY2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
DY2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝1.2.
(2)f(x)＝D(Y1)＋D(Y2)
＝()2DY1＋()2DY2
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)，
当且仅当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．
6．(2011·高考辽宁卷)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为样本平均数．
解：(1)X可能的取值为0,1,2,3,4，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

X的数学期望为
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：甲＝(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，
甲＝[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
乙＝(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，
乙＝[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．

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