常微分课后答案第二章.doc

第二章 一阶微分方程的初等解法

§2.1 变量分离方程与变量变换

习题2.1
求下列方程的解
1．，并求满足初始条件：的特解．
解 分离变量，得到，两边积分，即得，因而，通解为 ，这里是任意常数．此外，方程还有解．
由得，特解．
2．，并求满足初始条件：的特解．
解 分离变量，得到，两边积分，即得，因而，通解为，这里是任意常数．此外，和是两条积分曲线．
由得，特解．
3．．
解 分离变量，得到，两边积分，即得，所以得通解，这里是任意正常数．
4．．
解 分离变量，得到，两边积分，即得，因此得通解，这里是任意常数．另有特解和．
5．．
解 变形得 ，这是齐次方程，设，得，代入原方程得 ，分离变量得 ，两边积分，即得
，即，
这里是任意常数．
6．．
解 变形得 ，这是齐次方程，设，得，代入原方程得 ，分离变量积分，即得 ，即．
，即，
这里是任意常数．
7．．
解 分离变量，得到，两边积分，即得，所以通解为，这里的任意常数．另有特解，及，，这只须在通解表达式中允许即可，故通解为，这里是任意常数．
8．．
解 分离变量，得到，两边积分，即得，得到通解，这里是任意常数．
9．．
解 变形得，令，则，代入方程并分离变量得，，两边积分，即得，或，回代原变量有，，或，这里的任意常数．另有特解满足，即，这只须在通解表达式中允许即可，故通解为，这里是任意常数．
10．．
解 分离变量，得到，积分得，这里是任意常数．
作适当的变量变换求解下列方程（11—17）
11．．
解 设，则，原方程化为，即通解为 ，这里是任意常数．
12．．
解 ，由上题，注意到这里的和相当于上题的和，得到方程的通解为 ，这里是任意常数．
13．．
解 由得，令就有，这是齐次方程，令，有，代入方程后分离变量，，得到，回代变量得即为原方程的通解，这里是任意常数．
14．．
解 令，则，代入方程得 ，分离变量并积分得，，即为方程的通解，这里是任意常数．
15．．
解 变形为，令，则，代入原方程得，分离变量解之得，，回代原变量并变形化简，得到通解 ，这里是任意常数．
16．．
解 变形为，令，则原方程化为 ，解之得，即为方程的通解，这里是任意常数．
17．．
解 变形为，令，原方程变为，由，得到．设，则有，再令，得到，于是，解得，逐步回代变量，得原方程的通解为，这里是任意常数．
18．证明方程经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程：
（1）；
（2）．
证明 令，则得，代入原方程得是变量分离方程．
（1）中，所以，分离变量求解得
，
即得原告方程的通解 ．
（2）中，所以，分离变量求解得
，
即得原告方程的通解 ．
19．已知，试求函数的一般表达式．
解 变形后等式两边对求导，有 ，即 ，解得，由，得，所以．
20．求具有性质的函数，已知存在．
解 因为存在，故在连续，即．
由，令就有，得到．
，
令取极限，由于右边的极限为，故左边的极限存在，从而得到函数满足的方程， ，解之得 ，或．由，推出，所以，．
21．求一曲线，使它的切线介于两坐标轴之间的部分被切点分成相等的部分．
解 由习题1.2—9（4），知曲线应满足的方程，即，分离变量解之得，，或为所求的曲线．
22．在图（2.1）所示的电路中，设伏，欧，法，而开始时电容上没有电荷，问：
（1）当开关合上“1”后，经过多长时间电容上的电压伏？
（2）当开关合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关从“1”突然转至“2”，试求的变化规律，并问经过多长时间伏？
解 （1）由例7，，将，，代入，有
，
由，反解出，即经过约秒，电容上的电压伏．
（2）同样由例7，，代入具体数值有，由，同样得到，即经过约秒，电容上的电压伏．
23．求出习题1.2第9题（1）所确定的曲线，其中．
解 由习题1.2—9（1），，代入得，这是齐次方程，令，则，代入得，解出即为所求曲线．
24．证明满足习题1.2第9题（7）所给条件的曲线是抛物线族．
证明 由习题1.2—9（7），常数)，解之得，这是抛物线族，顶点在，对称轴为轴．

§2.2 线性方程与常数变易法

习题2.2
求下列方程的解：
1．．
解 首先，求齐次线性方程的通解，从得到齐次方程通解，令为方程的解，代入得，即，故原方程的通解为，其中为任意常数．
2．．
解 由，解出，设是原方程的解，代入原方程得，，故，所以原方程的通解为，其中为任意常数．
3．．
解 由，解得，设是原方程的解，代入原方程得，，得，所以通解为，其中为任意常数．
4．为常数．
解 由，解得，设是原方程的解，代入原方程得，，即，所以通解为，这里为任意常数．
5．．
解 由，解得，设是原方程的解，代入原方程得，，所以通解，这里为任意常数．
6．．
解 原方程即，这是的Bernoulli方程，令，就有，，解这个一阶线性方程得通解为，即，这里为任意常数．
7．．
解 由，得，令为原方程的解，代入原方程得，，即，所以原方程通解为，其中为任意常数．
8．．
解 变形为，把看作未知函数，看作自变量，对于及来说，这是一个线性方程．
先解对应的齐线性方程，得，其次把看作，即设为变形后方程的解，代入变形后的方程得，得到，从而原方程的通解为，其中为任意常数．
9．．
解 先解，得，设为原方程的解，代入原方程得，，即 ，
所以原方程通解为，其中为任意常数．
10．．
解 先解，得，设为原方程的解，代入原方程得， ，即，所以原方程通解为，这里为任意常数．
11．．
解 这是的Bernoulli方程，令代入有，解这个一阶线性方程得通解为，即为原方程的通解，这里为任意常数．另有特解．
12．．
解 变形为，这是的Bernoulli方程，令代入有
，
解这个一阶线性方程得通解为，即为原方程的通解，这里为任意常数．另有特解．
13．．
解 变形为，这是的Bernoulli方程，令代入有
，
解这个一阶线性方程得通解为，即，这里为任意常数．
14．．
解 设，则，代入原方程得，这是的Bernoulli方程，令代入有 ，解这个关于的一阶线性方程得通解为，回代原变量得原方程的通解，其中为任意常数．
15．．
解 变形为，把看作未知函数，看作自变量，对于及来说，这是一个的Bernoulli方程．令，有，解这个一阶线性方程得通解为，即得原方程的通解，这里为任意常数．
16．．
解 两边求导得一阶线性方程，解之得通解，从原方程知道有初始条件，代入通解表达式中得，故原积分方程的解为．
17．设函数于上连续，存在且满足关系式
，
试求此函数．
解 由于，且存在，故在该式中令取极限就有，，解得．
若，则是解；若不恒为零，则由得，由此得，所以．
18．如图所示的电路，试求：
（1）当开关合上10秒后，电感上的电流；
（2）合上10秒后再将合上，求合上20秒后，电感上的电流．
解 （1）由Kirchhoff第二定律得，，把，，代入得到微分方程，初始条件时，．解之得，当时，约为5安培．
（2）由Kirchhoff第二定律得，，其中，，代入得，初始条件时，．解之得，当时，约为7.5安培．
19．试求图示的电路电感上电流的变化规律，并解释其物理意义，设时，．
解 由Kirchhoff第二定律得，，即，初始条件为，求出其通解为，其中，．由初始条件得，，所以，
．
其物理意义是：当增大时，第一项逐渐衰减而趋于零（称为暂时电流），事实上很快就消失而不起作用．而第二项就起着重要作用（称为稳定电流）．稳定电流是一个周期函数，其周期与电动势的周期相同，而相角相差．
20．试证：
（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；
（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数；
（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解．
证明 （1）设，是方程（2.28）

的任意两个解，即，，由此得到
，
所以是齐线性方程（2.3）： 之解．
（2）由于是（2.3）的非零解，故，而是（2.28）的解，即，所以

，
所以是（2.28）的解，其中含有一个任意常数，故是方程（2.28）的通解，其中为任意常数．
（3）设，都是方程（2.3）的解，即
， ，
因此有
，
，
所以，方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解．
21．求解习题1.2第9题（5）和（6）．
解 （5）的方程为 ，或变形为，这是一阶线性方程．
先解对应的齐次方程，得到，设原方程的解为，代入原方程得，即，故所求曲线方程为，其中为任意常数．
（6）的方程为 ，或变形为，这是一阶线性方程．
同样先解对应的齐次方程，得到，设原方程的解为，代入原方程得，即，故所求曲线方程为，其中为任意常数．
22．求解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
解 （1）先解，得，设方程的解为，代入方程得，推出为原方程的通解（需分，及三种情形分别求解后再统一），这里为任意常数．
（2）先解，得到，设原方程的解为，代入原方程得 ，即，所以原方程的通解为，这里为任意常数．
（3）先解，得到，设原方程的通解为，代入原方程得，即，所以通解，这里为任意常数．

§2.3 恰当方程与积分因子
习题2.3

验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解：
1．．
证明 ，所以，即所给方程是恰当方程．
改写方程为，即，得原方程的解为，其中为任意常数．
2．．
证明 ，所以，即所给方程是恰当方程．
改写方程为，即，得原方程的解为，其中为任意常数．
3．．
证明 ，所以，即所给方程是恰当方程．
改写方程为 ，
凑为 ，
即，得原方程的通解为，其中为任意常数．
4．．
证明 ，所以，即所给方程是恰当方程．
改写方程为，即，得原方程的解为，其中为任意常数．
5．．
证明 由于， 所以，，即所给方程是恰当方程．
改写方程为 ，
即，得原方程的解为，其中为任意常数．
求下列方程的解：
6．．
解 改写方程为，即，所以得到原方程的通解，这里为任意常数．
7．．
解 由于，故．
因为 只与有关，所以方程有只与有关的积分因子
，
以乘方程两边得，，即，故得原方程的通解为，这里为任意常数．
8．．
解 改写为，凑微分得，得原方程的通解，其中为任意常数．
9．．
解 以除方程两边，有，即，得到原方程的通解为，这里为任意常数．
10．．
解 改写为，得，即，所以得到原方程的通解，或，其中为任意常数．
11．．
解 由，得，由于与无关，故方程有只与有关的积分因子，以乘方程两边有，
，
分组得，，凑微分得，即得方程的通解为，这里为任意常数．
12．．
解 由，得，由于只与有关，故方程有积分因子，以乘方程两边并组合变形有，
，
即，得到方程的通解为，或，这里为任意常数．
13．．
解 改写为，显然有积分因子，故以乘方程两边有，，即，得到通解，其中为任意常数．
14．．
解 改写为 ，
即 ，或，
所以原方程的通解为，其中为任意常数．
15．．
解 ，则，，由于与无关，故方程有积分因子，以乘方程两边并分项组合有，
，
或写为
，
即，
也即
，
故，得到方程的通解为，这里为任意常数．
16．．
解 改写方程为 ，可看出是一个积分因子，用它乘方程两边有，分项组合就有，，故方程的通解为，其中为任意常数．
17．试导出方程分别具有形为和的积分因子的充要条件．
解 设是的积分因子
是恰当方程

应为的函数．
又设是的积分因子
是恰当方程

．
18．设及连续，试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分分子．
证明 “”即例4．
“” 若方程有反依赖于的积分因子，则

仅与有关，所以，其中是的任意连续函数．从而方程为，即是线性方程．
19．试证齐次方程当时有积分因子．
证明 将方程两端同乘以，得，即．
设，则，从而，或，这是可分离变量方程，取积分因子，则有，得到通解为，其中为任意常数．
积分因子为，通解可写为，为任意常数．
20．设函数，连续、可微且，试证方程

有积分因子．
证明 以乘以方程两边，有，或，即 ，因而方程有积分因子．
21．假设方程（2.43）中的函数满足关系

其中分别为和的连续函数，试证方程（2.43）有积分因子．
证明 因为 ，
，
所以，
即，从而方程是恰当方程，故方程（2.43）有积分因子．
22．求出Bernoulli方程的积分因子．
解 Bernoulli方程为 ，以乘方程两边，并令，化为关于的一阶线性方程，后者有积分因子，从而Bernoulli方程的积分因子．
23．设是方程（2.43）的积分因子，从而求得可微函数，使得．试证也是方程（2.43）的积分因子的充要条件是，其中是的可微函数．
证明 “”若是方程（2.43）的积分因子，且，则
，
所以为（2.43）的通解，故亦是方程（2.43）的积分因子，其中是的可微函数．
“”设，则，．
由，则，，得到，所以，，因而存在函数，使得，由此得

，
得到．
24．设是方程（2.43）的两个积分因子，且不恒为常数，求证（任意常数）是方程（2.43）的通解．
证明 由于是方程（2.43）的两个积分因子，由上题结论，其中，这里是的可微函数．由于不恒为常数，故有不恒为零，由此在两边微分得，因此得到，
，
所以是方程（2.43）的解，又中含有一个任意常数，故即（任意常数）是方程（2.43）的通解．
25．假设第19题中微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为（为任意常数）．
证明 由于方程是恰当的，故即是一个积分因子，而由第19题也是积分因子，且不恒为常数，所以由第24题所证结论，就知道它的通解为，为任意常数．
§2.4 一阶隐方程与参数表示

习题2.4

求解下列方程：
1．．
解 解出，设，方程为，两边对求导，有
，
即，所以，因此得原方程的通解为
（为参数），为任意常数．
2．．
解 设，则，．由，得，从而通解为
，（为参数），为任意常数．
3．．
解 设，则原方程为，两边对求导有，，即，解得，所以通解为
（为参数），为任意常数．
4．（为常数）．
解 解出，，则原方程为，两边对求导有，
，
或，解得，所以通解为
（为参数），为任意常数．
5．．
解 设，，则由，得，所以通解为
（为参数），为任意常数．
6．．
解 令，则有，所以，，由此解出，于是求得通解为
（为参数），或消去参数得，为任意常数．

习题2.5

求下列方程的解：
1．．
解 原方程为，由，得到，设原方程的解是，代入原方程得出，即，因此原方程的通解为，为任意常数．
2．．
解 方程两边同乘以，有，凑微分得，故得通解，这里为任意常数．
3．．
解 改写为，两边乘以并凑微分得
，
所以，即，其中为任意常数．
4．．
解 这是齐次方程．设，则，，代入原方程化为
．
分离变量求解得，，即，这里为任意常数．
5．．
解 变形为，这是齐次方程．设，则，，代入化原方程为，分离变量求解得，即，其中为任意常数．
6．．
解 变形为，凑微分得，所以原方程的通解为，其中为任意常数．
7．．
解 变形为，设，则，代入原方程后得，，解之得，即，这里为任意常数．
8．．
解 这是的Bernoulli方程．令，有，解这个一阶线性方程，得，即，这里为任意常数．
9．．
解 先解，得到，设原方程的解是，代入原方程后得，，所以，得到是原方程的通解，这里为任意常数．
10．．
解 设，则，两边对求导得，从中就可解出，所以通解为
（为参数），为任意常数．
11．．
解 改写并分项组合，有，凑微分，得
，
所以，是方程的通解，这里为任意常数．
12．．
解 原方程即，设代入方程得，这是分离变量方程．解出，即得原方程的通解为，这里为任意常数．
13．．
解 设，则，仅与有关，故方程有积分因子，用它乘方程两边并分项组合有，
，即，
所以，或是原方程的通解，其中为任意常数．
14．．
解 由，解得，设原方程的解为，代入有，即，所以通解为，其中为任意常数．
15．．
解 设，则，，代入化原方程为，分离变量解之得，即，其中为任意常数．
16．．
解 分离变量得，两边积分得通解，为任意常数．
17．．
解 改写为，这是的Bernoulli方程．设，则原方程化为一阶线性方程，解之得，因此得原方程的通解为，这里为任意常数．
18．．
解 ，则，只与有关，故有积分因子，用它乘以方程并分项组合有
，
凑微分得，，所以通解为，或，其中为任意常数．
19．．
解 解出，设，则原方程为，两边对求导有，
，
或，解得，所以通解为
（为参数），
或消去参数，得，为任意常数．另外还有，或也是解．
20．．
解 令，代入方程有，即．
由于，所以，得到原方程的通解为
（为参数），
消去参数得，其中为任意常数．
21．．
解 设，则，，代入原方程化简得，分离变量求解得，即是原方程的通解，其中为任意常数．
22．．
解 设，则，故为恰当方程．
由于，其中是的待定可微函数，再由，得到，即有，因此得到方程的通解为，即，这里为任意常数．
23．．
解 变形为，看出有积分因子，用乘以方程两边并凑微分得，即得方程的通解是或，这里为任意常数．
24．．
解 变形为，看出有积分因子，用它乘以方程两边并凑微分得，得方程的通解是，或其等价形式，其中为任意常数．
25．．
解 设，则，两边对求导有，即
，由此得到，所以方程的通解为
（为参数），为任意常数．
26．．
解 设，则，与无关，所以方程有积分因子，以之乘方程的两边，分项组合得到，即
，
所以得方程的通解，这里为任意常数．
27．．
解 设，则，原方程变为，这是变量分离方程，解之得，即，其中为任意常数．另有特解，即．
28． （提示：令）．
解 令，则，代入方程得，这是的Bernoulli方程．设，则原方程化为一阶线性方程，解之得，即，因此得为原方程的通解，这里为任意常数．
29．．
解 设，则，，代入方程就有，解得，，即为原方程的通解，这里为任意常数．
30．．
解法一 变形为，
这里，由于，所以方程为恰当方程．分项组合，即，故原方程的通解是，其中为任意常数．
解法二 变形后凑微分得，令，则原方程化为
．
由解得，再令，则方程化为
，
这是齐次方程．令，则，代入方程得，解出，回代变量并化简就有是原方程的通解，其中为任意常数．
31． （提示：令）．
解法一 设，代入方程有，得，即，或是原方程的通解，这里是任意常数．另有特解．
解法二 改写方程为，
这里，，而

仅与有关，故求得方程的一个积分因子，用它乘方程两边得
．
，其中是的待定可微函数，再由，得到，所以，原方程的通解为，或变形为，这里是任意常数．另有特解．
32． （提示：令）．
解 令，代入方程得，解这个变量分离方程得，即为原方程的通解，其中为任意常数．
33．求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标．
解 与习题1.2第9题（5）类似可得曲线上任一点坐标满足的方程
，
即，显然，解之得曲线方程，为任意常数．
34．摩托艇以5米/秒的速度在静水上运动，全速时停止了发动机，过了20秒后，艇的速度减至米/秒．确定发动机停止2分钟后艇的速度．假定水的阻力与艇的运动速度成正比例．
解 设摩托艇停止发动机时刻为，速度为，则由Newton第二定律有
比例常数，为摩托艇质量)，
初始条件．解这个方程得，由初始条件得到，故．又从，得到，因而，故发动机停止2分钟后，即时，艇的速度为（米/秒）．
35．一质量为的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面．此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数）．试求此质点的速度与时间的关系．
解 由Newton第二定律，得方程，即，求出它的解为，由初始条件，求出，所以
．
36．证明：若已知Riccati方程的一个特解，则可用初等解法求得它的通解．并解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4） ；
（5）=2;
(6)；
（7）．
证明 设已知Riccati方程

的一个特解，即，令，得到

，
即，这是的Bernoulli方程．因而可求出其通解，再由就得到了Riccati方程的通解，因此若已知Riccati方程的一个特解，则可用初等解法求得它的通解．
事实上，设，则方程化为，是一阶线性方程，通解为，回代原变量即得
．
为Riccati方程的通解，其中为任意常数．
（1）可直接观察知方程有特解．因此可设解为，代入原方程得，，解出，故通解，为任意常数．
（2）直接观察知方程有特解．设，代入原方程得，，解出，所以原方程通解为，为任意常数．
（3）显然方程有特解．设原方程的解为，代入原方程得到方程，，设得，解之有，因此得到原方程的通解，或，这里为任意常数．
（4）显然是原方程的一个特解．设原方程的解为，代入原方程得，由上题知，故通解为，获写为，其中为任意常数．
（5）显然是一个特解．设原方程的解为，代入方程得，设代入得，解出，即，故得原方程的通解为，或，其中为任意常数．
（6）显然是一个特解．设原方程的解为，代入方程得，设代入得，解出，即，故得原方程的通解为，或，其中为任意常数．
（7）显然是一个特解．设原方程的解为，代入方程得，设代入有，解出，即，故得原方程的通解为，其中为任意常数．